Ung symmetrisör

I matematik är en Young symmetrizer ett element i gruppalgebra i den symmetriska gruppen , konstruerad på ett sådant sätt att för homomorfismen från gruppalgebra till endomorfismerna i ett vektorrum $V^{\otimes n}$ erhållen från verkan av $S_{n}$ på $V^{\otimes n}$ genom permutation av index, motsvarar bilden av endomorfismen som bestäms av det elementet en irreducibel representation av den symmetriska gruppen över de komplexa talen . En liknande konstruktion fungerar över vilket fält som helst, och de resulterande representationerna kallas Specht-moduler . Young symmetrizer är uppkallad efter den brittiske matematikern Alfred Young .

Definition

Givet en ändlig symmetrisk grupp S _n och specifik Young-tabell λ som motsvarar en numrerad partition av n , och betrakta åtgärden för $S_{n}$ som ges genom att permutera rutorna med $\lambda$ . Definiera två permutationsundergrupper $P_{\lambda }$ och $Q_{\lambda }$ av S _n enligt följande:

$P_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ bevarar varje rad av }}\lambda \}$

och

$Q_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ bevarar varje kolumn i }}\lambda \}.$

Motsvarande dessa två undergrupper, definiera två vektorer i gruppen algebra $\mathbb {C} S_{n}$ som

$a_{\lambda }=\summa _{g\in P_{\lambda }}e_{g}$

och

$b_{\lambda }=\summa _{g\in Q_{\lambda }}\operatörsnamn {sgn}(g)e_{g$

där $}}$ är enhetsvektorn som motsvarar g , och $\operatorname {sgn}(g)$ är tecknet på permutationen. Produkten

$c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }=\summa _{g\in P_{\lambda },h\in Q_{\lambda }}\operatörsnamn {sgn}(h)e_{gh}$

är Young-symmetrisören som motsvarar Young-tabellen λ. Varje Young symmetrizer motsvarar en irreducerbar representation av den symmetriska gruppen, och varje irreducerbar representation kan erhållas från en motsvarande Young symmetrizer. (Om vi ​​ersätter de komplexa talen med mer allmänna fält kommer motsvarande representationer inte att vara irreducerbara i allmänhet.)

Konstruktion

Låt V vara vilket vektorutrymme som helst över de komplexa talen . Betrakta sedan tensorproduktens vektorrymd $V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ ( n gånger). Låt S _n agera på detta tensorproduktutrymme genom att permutera indexen. Man har då en naturlig gruppalgebra- representation $\mathbb {C} S_{n}\to \operatorname {End} (V^{\otimes n})$ på $V^{\otimes n}$ .

Givet en partition λ av n , så att $n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{j}$ , då är bilden av $a_{\lambda }$

$\operatorname {Im} (a_{\lambda }):=a_{\lambda }V^{\otimes n}\cong \operatorname {Sym} ^{\lambda _{1}}V\otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatörsnamn {Sym} ^{\lambda _{j}}V.$

Till exempel, om $n=4$ , och $\lambda =(2,2)$ , med den kanoniska Young-tabellen $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$ . Då ges motsvarande ${\displaystyle a_{\lambda }} av$

$a_{\lambda }=e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)}.$

För alla produktvektorer $v_{1,2,3,4}:=v_{1}\otimes v_{2} \otimes v_{3}\otimes v_{4}$ av $V^{\otimes 4}$ har vi då

$a_{\lambda }v_{1,2,3,4}=v_{1,2,3,4}+v_{2,1,3,4}+v_{1,2,4,3 }+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+ v_{4}\otimes v_{3}).$

Spännvidden för alla $v_{1,2,3,4}$ sträcker sig tydligt över $\operatorname {Sym} ^{2} V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V$ och eftersom $v_{1,2,3,4}$ span $V^{\ ibland 4}$ får vi $a_{\lambda }V^{\otimes 4}=\operatörsnamn {Sym} ^{2}V\otimes \ operatornamn {Sym} ^{2}V$ , där vi skrev informellt $a_{\lambda }V^{\otimes 4}\equiv \operatorname {Im} ( a_{\lambda })$ .

Lägg också märke till hur denna konstruktion kan reduceras till konstruktionen för $n=2$ . Låt $\mathbb {1} \in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})$ vara identitetsoperatorn och ${ \displaystyle S\in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$ bytesoperatorn definierad av $S(v\otimes w)=w\otimes v$ , alltså $\mathbb {1} =e_{\text{id}}$ och $S=e_{(1,2)}$ . Det har vi

$e_{\text{id}}+e_{(1,2)}=\mathbb {1} +S$

mappar till $\operatorname {Sym} ^{2}V$ , mer exakt

${\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)$

är projektorn på $\operatorname {Sym} ^{2}V$ . Sedan

${\frac {1}{4}}a_{\lambda }={\frac {1}{4 }}(e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)})={\frac {1 }{4}}(\mathbb {1} \otimes \mathbb {1} +S\otimes \mathbb {1} +\mathbb {1} \otimes S+S\otimes S)={\frac {1}{ 2}}(\mathbb {1} +S)\otimes {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)$

som är projektorn på $\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V$ .

Bilden av $b_{\lambda }$ är

$\operatorname {Im} (b_{\lambda })\cong \bigwedge ^{}\mu }V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V$

där μ är den konjugerade partitionen till λ. Här är $\operatorname {Sym} ^{i}V$ och $\bigwedge ^{j}V$ de symmetriska och alternerande tensorproduktrymden .

Bilden $\mathbb {C} S_{n}c_{\lambda }$ av $c_{\lambda }=a_{\lambda }\cdot b_{\lambda }$ i $\mathbb {C} S_{n}$ är en irreducerbar representation av S _n , kallad en Specht-modul . Vi skriver

$\operatörsnamn {Im} (c_{\lambda })=V_{\lambda }$

för den oreducerbara representationen.

Någon skalär multipel av $c_{\lambda }$ är idempotent, det vill säga $c_{\lambda }^{2}=\alpha _{\lambda }c_{ \lambda }$ för något rationellt tal $\alpha _{\lambda }\in \mathbb {Q} .$ Specifikt finner man $\alpha _{\lambda }=n!/\dim V_{\lambda }$ . I synnerhet innebär detta att representationer av den symmetriska gruppen kan definieras över de rationella talen; det vill säga över den rationella gruppen algebra $\mathbb {Q} S_{n}$ .

Betrakta till exempel S ₃ och partitionen (2,1). Då har man

$c_{(2,1)}=e_{123}+e_{213}-e_{321}-e_{312}.$

Om V är ett komplext vektorrum, så tillhandahåller bilderna av $c_{\lambda }$ på utrymmena $V^{\otimes d}$ i huvudsak alla änddimensionella irreducerbara representationer av GL (V).

Se även

• Representationsteori för den symmetriska gruppen

Anteckningar

• William Fulton. Unga tablåer, med tillämpningar på representationsteori och geometri . Cambridge University Press, 1997.
• Föreläsning 4 av     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
• Bruce E. Sagan . Den symmetriska gruppen . Springer, 2001.