Analytisk torsion

Inom matematiken är Reidemeister torsion (eller R-torsion , eller Reidemeister–Franz torsion ) en topologisk invariant av grenrör som introducerades av Kurt Reidemeister ( Reidemeister 1935 ) för 3-grenrör och generaliserade till högre dimensioner av Wolfgang Franz ( 1935 ) och Georges de Rham. ( 1936 ). Analytisk torsion (eller Ray-Singer torsion ) är en invariant av Riemannska grenrör som definieras av Daniel B. Ray och Isadore M. Singer ( 1971 , 1973a , 1973b ) som en analytisk analog till Reidemeister torsion. Jeff Cheeger ( 1977 , 1979 ) och Werner Müller ( 1978 ) bevisade Ray och Singers gissningar att Reidemeister-torsion och analytisk torsion är samma för kompakta Riemannska grenrör.

Reidemeister torsion var den första invarianten i algebraisk topologi som kunde skilja mellan slutna grenrör som är homotopi ekvivalenta men inte homeomorphic , och kan således ses som födelsen av geometrisk topologi som ett distinkt fält. Den kan användas för att klassificera linsutrymmen .

Reidemeister-torsion är nära besläktad med Whitehead-torsion ; se ( Milnor 1966 ). Det har också gett en viss viktig motivation till aritmetisk topologi ; se ( Mazur ). För nyare arbete med torsion se böckerna ( Turaev 2002 ) och (Nicolaescu 2002 , 2003 ).

Definition av analytisk torsion

Om M är ett Riemannskt grenrör och E ett vektorknippe över M , så finns det en laplacisk operator som verkar på k -formerna med värden i E . Om egenvärdena på k -former är λ _{j så} definieras zetafunktionen ζ _{k att vara}

$\zeta _{k}(s)=\summa _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s }$

för s stora, och detta utvidgas till alla komplexa s genom analytisk fortsättning . Den zeta-reguljära determinanten för Laplacian som verkar på k -former är

$\Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))$

som formellt är produkten av de positiva egenvärdena hos laplacianen som verkar på k -former. Den analytiska vridningen T ( M , E ) definieras som

$T(M,E)=\exp \left(\summa _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)= \prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.$

Definition av Reidemeister torsion

Låt $X$ vara ett ändligt anslutet CW-komplex med grundgrupp $\pi :=\pi _{1}(X)$ och universellt omslag ${\tilde {X}}$ , och låt $U$ vara en ortogonal änddimensionell $\pi$ -representation. Anta att

$H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n} (U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0$

för alla n. Om vi ​​fixar en cellulär bas för $C_{*}({\tilde {X}})$ och en ortogonal $\mathbf {R}$ -bas för $U$ , sedan $D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({ \tilde {X}})$ är ett sammandragbart ändligt baserat fritt $\mathbf {R}$ -kedjekomplex. Låt $\gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}$ vara valfri kedjesammandragning av D _* , dvs $d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{ n}}$ för alla $n$ . Vi får en isomorfism $(d_{*}+\gamma _{*})_{\text{udda}}:D_{\text{udda} }\till D_{\text{jämn}}$ med $D_{\text{udda}}:=\oplus _{n\,udda}\,D_{ n}$ , $D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}$ . Vi definierar Reidemeister-torsionen

$\rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}$

där A är matrisen för $(d_{*}+\gamma _{*})_{\text{udda}}$ med avseende på de givna baserna. Reidemeister-torsionen $\rho (X;U)$ är oberoende av valet av cellulär bas för $C_{*}({\tilde {X} })$ , den ortogonala basen för $U$ och kedjekontraktionen $\gamma _{*}$ .

Låt $M$ vara ett kompakt jämnt grenrör, och låt $\rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)$ vara en unimodulär representation . $M$ har en jämn triangulering. För val av volym $\mu \in \det H_{*}(M)$ får vi en invariant $\ tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}$ . Sedan kallar vi det positiva reella talet ${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )} för$ grenrörets Reidemeister-torsion $M$ med avseende på $\rho$ och $\mu$ .

En kort historia av Reidemeister-torsion

Reidemeister torsion användes först för att kombinatoriskt klassificera 3-dimensionella linsutrymmen i ( Reidemeister 1935 ) av Reidemeister, och i högre dimensionella utrymmen av Franz. Klassificeringen inkluderar exempel på homotopiekvivalenta 3-dimensionella grenrör som inte är homeomorfa - vid den tiden (1935) var klassificeringen endast upp till PL homeomorphism , men senare EJ Brody ( 1960 ) visade att detta i själva verket var en klassificering upp till homeomorphism .

JHC Whitehead definierade "torsionen" av en homotopi-ekvivalens mellan finita komplex. Detta är en direkt generalisering av Reidemeister, Franz och de Rham-konceptet; men är en mer känslig invariant. Whitehead torsion tillhandahåller ett nyckelverktyg för studiet av kombinatoriska eller differentierbara grenrör med icke-trivial fundamental grupp och är nära besläktat med konceptet "enkel homotopityp", se ( Milnor 1966 )

År 1960 upptäckte Milnor dualitetsrelationen mellan torsionsinvarianter av grenrör och visade att det (tvinnade) Alexanderpolynomet av knutar är Reidemeister-torsionen av dess knutkomplement i $S^{3}$ . ( Milnor 1962 ) För varje q inducerar Poincaré -dualiteten $P_{o}$

$P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M )){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatörsnamn {det} (H_{nq}(M)))^{-1}$

och då får vi

$\Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).$

Representationen av den grundläggande gruppen av knutkomplement spelar en central roll i dem. Det ger sambandet mellan knutteori och torsionsinvarianter.

Cheeger–Müllers teorem

Låt $(M,g)$ vara ett orienterbart kompakt Riemann-grenrör med dimensionen n och $\rho \colon \pi (M) \rightarrow \mathop {GL} (E)$ en representation av den fundamentala gruppen av $M$ på ett reellt vektorrum med dimension N. Sedan kan vi definiera de Rham-komplexet

$\Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_ {1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}$

och den formella adjointen $d_{p}$ och $\delta _{p}$ på grund av plattheten hos $E_{q}$ . Som vanligt får vi även Hodge Laplacian på p-former

$\Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.$

Om vi ​​antar att $\partial M=0$ är Laplacian då en symmetrisk positiv semi-positiv elliptisk operator med rent punktspektrum

$0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .$

Liksom tidigare kan vi därför definiera en zeta-funktion som är associerad med Laplacian $\Delta _{q}$ på $\Lambda ^{q}(E)$ med

${ \displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma ( s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt, \ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}$

där $P$ är projektionen av $L^{2}\Lambda (E)$ på kärnutrymmet ${\mathcal {H}} ^{q}(E)$ av Laplacian $\Delta _{q}$ . Det visades dessutom av ( Seeley 1967 ) att $\zeta _{q}(s;\rho )$ sträcker sig till en meromorf funktion av $s\in \mathbf {C}$ som är holomorft vid $s=0$ .

Som i fallet med en ortogonal representation, definierar vi den analytiska vridningen $\rho ;E)}$ med

$T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q }q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.$

1971 antog DB Ray och IM Singer att $\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}$ för alla enhetsrepresentationer $\rho$ . Denna Ray-Singer-förmodan bevisades så småningom, oberoende, av Cheeger ( 1977 , 1979 ) och Müller (1978) . Båda tillvägagångssätten fokuserar på logaritmen av vridningar och deras spår. Detta är lättare för grenrör med udda dimensioner än i fallet med jämna dimensioner, vilket innebär ytterligare tekniska svårigheter. Denna Cheeger-Müller-sats (att de två begreppen vridning är likvärdiga), tillsammans med Atiyah-Patodi-Singer-satsen , gav senare grunden för Chern-Simons störningsteori .

Ett bevis på Cheeger-Müllers sats för godtyckliga representationer gavs senare av JM Bismut och Weiping Zhang. Deras bevis använder Witten-deformationen.

•    Bismut, J. -M.; Zhang, W. (1994-03-01), "Milnor and Ray-Singer metrics on the equivariant determinant of a flat vector bundle", Geometric & Functional Analysis GAFA , 4 (2): 136–212, doi : 10.1007/BF01895837 , ISSN 1420-8970 , S2CID 121327250
•    Brody, EJ (1960), "The topological classification of the lin spaces", Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307/1969884 , JSTOR 1969884 , MR 0116336
•     Cheeger, Jeff (1977), "Analytic torsion and Reidemeister torsion", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 ( 7): 2651–2654, Bibcode : 1977PNAS...74.2651C , doi : 10.107 /pnas.74.7.2651 , MR 0451312 , PMC 431228 , PMID 16592411
•    Cheeger, Jeff (1979), "Analytic torsion and the heat equation", Annals of Mathematics , 2, 109 (2): 259–322, doi : 10.2307/1971113 , JSTOR 1971113 , MR 5 052896
• Franz, Wolfgang (1935), "Ueber die Torsion einer Ueberdeckung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 173 : 245–254
•   Milnor, John (1962), "A duality theorem for Reidemeister torsion", Annals of Mathematics , 76 (1): 137–138, doi : 10.2307/1970268 , JSTOR 1970268
•   Milnor, John (1966), "Whitehead torsion", Bulletin of the American Mathematical Society , 72 (3): 358–426, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11484-2 , MR 0196736
• Mishchenko, Aleksandr S. (2001) [1994], "Reidemeister torsion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Müller, Werner (1978), "Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds", Advances in Mathematics , 28 (3): 233–305, doi : 10.1016/0001-8708(78)90116-0 , 829 MR  
• Nicolaescu, Liviu I. (2002), Notes on the Reidemeister torsion (PDF) Onlinebok
•    Nicolaescu, Liviu I. (2003), The Reidemeister torsion of 3-manifolds , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 30, Berlin: Walter de Gruyter & Co., s. xiv+249, doi : 10.1515/9783110198102 , ISBN 3-11-017383-2 , MR 1968575
•    Ray, Daniel B.; Singer, Isadore M. (1973a), "Analytisk torsion för komplexa grenrör.", Annals of Mathematics , 2, 98 (1): 154–177, doi : 10.2307/1970909 , JSTOR 1970909 , MR 338
•   Ray, Daniel B.; Singer, Isadore M. (1973b), "Analytisk torsion.", Partiella differentialekvationer , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIII, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 167–181, MR 0339293
•   Ray, Daniel B.; Singer, Isadore M. (1971), " R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.", Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR 0295381
•   Reidemeister, Kurt (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Matematik. Sem. Univ. Hamburg , 11 : 102–109, doi : 10.1007/BF02940717 , S2CID 124078064
•   de Rham, Georges (1936), "Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister", Recueil Mathématique (Matemacheskii Sbornik) , Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl 0016.04501
•    Turaev, Vladimir (2002), Torsions of 3-dimensional manifolds , Progress in Mathematics, vol. 208, Basel: Birkhäuser Verlag, s. x+196, doi : 10.1007/978-3-0348-7999-6 , ISBN 3-7643-6911-6 , MR 1958479
• Mazur, Barry . "Anmärkningar om Alexanderpolynomet" (PDF) .
•    Seeley, RT (1967), "Complex powers of an elliptic operator", i Calderón, Alberto P. (red.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 10, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 288–307, ISBN 978-0-8218-1410-9 , MR 0237943