Hypoelliptisk operatör

I teorin för partiella differentialekvationer definieras en partiell differentialoperator ${\displaystyle P} på en$ öppen delmängd

$U\subset {\mathbb {R} }^{n}$

kallas hypoelliptisk om för varje distribution $u$ definierad på en öppen delmängd $V\subset U$ så att $Pu$ är $C^{\infty }$ ( smooth ), $u$ måste också vara $C^{\infty }$ .

Om detta påstående gäller med $C^{\infty }$ ersatt av real-analytic , då sägs $P$ vara analytiskt hypoelliptisk .

Varje elliptisk operator med $C^{\infty }$ koefficienter är hypoelliptisk. I synnerhet Laplacian ett exempel på en hypoelliptisk operator (Laplacian är också analytiskt hypoelliptisk). Dessutom är operatorn för värmeekvationen ( P $\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,}$ )

$P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,$

(där $k>0$ ) är hypoelliptisk men inte elliptisk. Operatorn för vågekvationen ( P $\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,}$ )

$P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,$

(där $c\neq 0$ ) är inte hypoelliptisk.

•   Shimakura, Norio (1992). Partiella differentialoperatorer av elliptisk typ: översatt av Norio Shimakura . American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-4556-X .
•   Egorov, Yu. V.; Schulze, Bert-Wolfgang (1997). Pseudo-differentialoperatorer, singulariteter, applikationer . Birkhäuser. ISBN 3-7643-5484-4 .
•   Vladimirov, VS (2002). Metoder för teorin om generaliserade funktioner . Taylor och Francis. ISBN 0-415-27356-0 .
•   Folland, GB (2009). Fourieranalys och dess tillämpningar . AMS. ISBN 978-0-8218-4790-9 .

Den här artikeln innehåller material från Hypoelliptic på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .