Moyal fäste

Inom fysik är Moyal -fästet den lämpligt normaliserade antisymmetriseringen av fas- rymdstjärnprodukten .

Moyal-fästet utvecklades omkring 1940 av José Enrique Moyal , men Moyal lyckades publicera sitt arbete först 1949 efter en lång tvist med Paul Dirac . Under tiden introducerades denna idé självständigt 1946 av Hip Groenewold .

Översikt

Moyal-parentesen är ett sätt att beskriva kommutatorn av observerbara i kvantmekanikens fasrumsformulering när dessa observerbara beskrivs som funktioner på fasrymden . Den förlitar sig på scheman för att identifiera funktioner på fasrymden med kvantobserverbara värden, den mest kända av dessa scheman är Wigner-Weyl-transformen . Det ligger till grund för Moyals dynamiska ekvation , en likvärdig formulering av Heisenbergs kvantekvant av rörelse , vilket ger kvantgeneraliseringen av Hamiltons ekvationer .

Matematiskt är det en deformation av fas-rymden Poisson-konsolen (i huvudsak en förlängning av den), deformationsparametern är den reducerade Planck-konstanten ħ . Sålunda ger dess gruppsammandragning ħ →0 Poisson-parentesen Lie algebra .

Upp till formell ekvivalens är Moyal-fästet den unika enparameters Lie-algebraiska deformationen av Poisson-fästet. Dess algebraiska isomorfism till kommutatorernas algebra förbigår det negativa resultatet av Groenewold-van Hove-satsen, som utesluter en sådan isomorfism för Poisson-parentesen, en fråga som implicit togs upp av Dirac i sin doktorsavhandling från 1926, "metoden för klassisk analogi" för kvantisering.

Till exempel, i ett tvådimensionellt platt fasutrymme , och för Weyl-mapkorrespondensen , står Moyal-parentesen,

${\begin{aligned}\{\{f ,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star gg\star f)\\&=\{f ,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}$

där ★ är stjärnproduktoperatorn i fasrymd (jfr Moyal produkt ), medan f och g är differentierbara fas-rumsfunktioner, och { f , g } är deras Poisson-parentes.

Närmare bestämt, i operationell kalkylspråk , är detta lika med

$\{\{f,g\}\}\ ={\frac {2}{\hbar }}~f(x,p)\ \sin \left({{\tfrac {\hbar }{2 }}({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial}}_{p}-{\overleftarrow {\partial}}_{p}{\overrightarrow {\partial}}_{ x})}\höger)\ g(x,p).$

Vänster- och högerpilarna över partiella derivator anger vänster och höger partiella derivator. Ibland kallas Moyal-fästet som Sine-fästet .

En populär (Fourier) integrerad representation för det, introducerad av George Baker är

$\{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx' \,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x' p''-x''p')\right)~.$

Varje korrespondenskarta från fasrymden till Hilbertrymden inducerar en karakteristisk "Moyal"-parentes (som den som illustreras här för Weyl-kartan). Alla sådana Moyal-parenteser är formellt likvärdiga sinsemellan, i enlighet med en systematisk teori.

Moyal-parentesen specificerar den eponyma oändligt dimensionella Lie-algebran - den är antisymmetrisk i sina argument f och g och tillfredsställer Jacobi-identiteten . Den motsvarande abstrakta Lie-algebra realiseras av T _f ≡ f ★ , så att

$[T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.$

På ett 2-torus fasutrymme, T ² , med periodiska koordinater x och p , var och en i [0,2 π ] , och heltalsmodsindex m _i , för basfunktioner exp( i ( m ₁ x + m ₂ p )) , den här Lie-algebra lyder,

${\ displaystyle [T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{ 1}m_{2}-n_{2}m_{1})\höger)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~}$

vilket reducerar till SU ( N ) för heltal N ≡ 4 π/ħ . SU ( N ) framträder då som en deformation av SU (∞), med deformationsparameter 1/ N .

Generalisering av Moyal-konsolen för kvantsystem med andra klassens begränsningar involverar en operation på ekvivalensklasser av funktioner i fasrymden, vilket kan betraktas som en kvantdeformation av Dirac-fästet .

Sinusfäste och cosinusfäste

Bredvid den diskuterade sinusparentesen introducerade Groenewold ytterligare cosinusparentesen, utarbetad av Baker,

${\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}} (f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}$

Här, återigen, är ★ stjärnproduktoperatören i fasrymd, f och g är differentierbara fas-rymdfunktioner, och f g är den vanliga produkten.

Sinus- och cosinusparenteserna är resultatet av antisymmetriering och symmetri av stjärnprodukten. Eftersom sinusparentesen är Wigner-kartan för kommutatorn, är cosinusparentesen Wigner-bilden av antikommutatorn i standardkvantmekanik. På samma sätt, eftersom Moyal-parentesen är lika med Poisson-parentesen upp till högre ordningsföljder av ħ , är cosinusparentesen lika med den vanliga produkten upp till högre ordningar på ħ . I den klassiska gränsen hjälper Moyal-parentesen reduktion till Liouville-ekvationen (formulerad i termer av Poisson-parentesen), eftersom cosinusparentesen leder till den klassiska Hamilton–Jacobi-ekvationen .

Sinus- och cosinusparentesen står också i relation till ekvationer av en rent algebraisk beskrivning av kvantmekaniken.