Första klassens begränsning

Ej att förväxla med Primär begränsning .

Huvudartikel: Dirac fäste

En första klass begränsning är en dynamisk storhet i ett begränsat Hamilton- system vars Poisson-fäste med alla andra begränsningar försvinner på begränsningsytan i fasrymden (ytan som implicit definieras av den samtidiga försvinnandet av alla begränsningar). För att beräkna den första klassens begränsning, antar man att det inte finns några andra klassens begränsningar, eller att de har beräknats tidigare och deras Dirac-parenteser genererats.

Första och andra klassens begränsningar introducerades av Dirac ( 1950 , s.136, 1964 , s.17) som ett sätt att kvantisera mekaniska system såsom mätteorier där den symboliska formen är degenererad.

Terminologin för första och andra klass begränsningar är förvirrande lik den för primära och sekundära begränsningar , vilket återspeglar det sätt på vilket dessa genereras. Dessa divisioner är oberoende: både första och andra klass begränsningar kan vara antingen primära eller sekundära, så detta ger totalt fyra olika klasser av begränsningar.

Poisson-fästen

Betrakta ett Poisson-grenrör M med en jämn Hamiltonian över sig (för fältteorier skulle M vara oändligt dimensionell).

Anta att vi har några begränsningar

$f_{i}(x)=0,$

för n smidiga funktioner

$\{f_{i}\}_{i=1}^{n}$

Dessa kommer endast att definieras i diagramform i allmänhet. Antag att överallt i den begränsade mängden n- derivatorna av de n funktionerna alla linjärt oberoende och även att Poisson-parenteserna

$\{f_{i},f_{j}\}$

och

$\{f_{i},H\}$

alla försvinner på det begränsade underutrymmet.

Det betyder att vi kan skriva

$\{f_{i},f_{j}\}=\summa _{k}c_{ij}^{k}f_{k }$

för vissa jämna funktioner $c_{ij}^{k}$ −−det finns en sats som visar detta; och

$\{f_{i},H\}=\summa _{j}v_{i}^{j}f_{j}$

för vissa smidiga funktioner $v_{i}^{j}$ .

Detta kan göras globalt med hjälp av en enhetspartition . Sedan säger vi att vi har en irreducerbar förstklassig begränsning ( irreducible här är i en annan mening än den som används i representationsteorin ).

Geometrisk teori

För ett mer elegant sätt, anta att det ges en vektorbunt över ${\displaystyle {\mathcal {M}}} ,$ med $n$ -dimensionell fiber $V$ . Utrusta denna vektorbunt med en anslutning . Anta att vi också har en jämn sektion f av denna bunt.

Då är den kovarianta derivatan av f med avseende $T{\mathcal {M}}$ kopplingen en jämn linjär karta $\nabla f$ från tangentbunten till $V$ , som bevarar baspunkten . Antag att denna linjära karta är rätt inverterbar (dvs. det finns en linjär karta $g$ så att $(\Delta f)g$ är identitetskartan ) för alla fibrer vid nollorna i f . Sedan, enligt den implicita funktionssatsen , är subrymden av nollor av f en submanifold .

Den vanliga Poisson-parentesen definieras endast över ${\displaystyle C^{\infty }(M)} ,$ utrymmet för jämna funktioner över M . Men med hjälp av anslutningen kan vi utöka den till utrymmet av släta sektioner av f om vi arbetar med algebraknippet med den graderade algebra av V -tensorer som fibrer.

Antag också att under denna Poisson-parentes, ${\displaystyle \{f,f\}=0} ($ observera att det inte är sant att $\{g,g\} =0$ i allmänhet för denna "förlängda Poisson-parentes" längre) och $\{f,H\}=0$ på undergrenröret av nollor av f (om dessa parenteser också råkar vara noll överallt, då säger vi att begränsningarna stänger av skalet ). Det visar sig att rätt inverterbarhetsvillkor och kommutativiteten för flödesförhållanden är oberoende av valet av anslutning. Så vi kan släppa anslutningen förutsatt att vi enbart arbetar med det begränsade underutrymmet.

Intuitiv mening

Vad betyder allt intuitivt? Det betyder att Hamilton-flödena och begränsningsflödena alla pendlar med varandra på det begränsade underrummet; eller alternativt, att om vi börjar på en punkt på det begränsade delrummet, så bringar Hamiltonian och tvångsflödena punkten till en annan punkt på det begränsade delrummet.

Eftersom vi vill begränsa oss till enbart det begränsade underrummet, tyder detta på att Hamiltonian, eller någon annan fysisk observerbar , endast bör definieras på det underrummet. På motsvarande sätt kan vi titta på ekvivalensklassen för jämna funktioner över det symplektiska grenröret, som överensstämmer med det begränsade delrummet ( kvotalgebra av idealet som genereras av f :en, med andra ord).

Haken är att Hamiltonian-flödena på det begränsade delrummet beror på Hamiltonianens gradient där, inte dess värde. Men det finns en enkel väg ut ur detta.

Titta på banorna för det begränsade underrummet under verkan av de symplektiska flödena som genereras av f :en. Detta ger en lokal foliation av underrummet eftersom det uppfyller integrerbarhetsvillkor ( Frobenius teorem) . Det visar sig om vi börjar med två olika punkter på samma bana på det begränsade delrummet och utvecklar dem båda under två olika Hamiltonianer, som överensstämmer om det begränsade delrummet, då kommer tidsutvecklingen för båda punkterna under deras respektive Hamiltonian flöden att alltid ligga i samma bana vid lika tidpunkter. Det visar sig också om vi har två jämna funktioner A ₁ och B ₁ , som är konstanta över banor åtminstone på det begränsade delrummet (dvs fysiska observerbara) (dvs {A ₁ ,f}={B ₁ ,f}=0 över det begränsade delutrymmet) och ytterligare två A ₂ och B ₂ , som också är konstanta över banor så att A ₁ och B ₁ överensstämmer med A _{2 respektive} B ₂ över det begränsade delrummet, sedan deras Poisson-parenteser {A ₁ , B ₁ } och {A ₂ , B ₂ } är också konstanta över banor och överensstämmer över det begränsade underrummet.

I allmänhet kan man inte utesluta " ergodiska " flöden (vilket i grunden betyder att en bana är tät i någon öppen uppsättning), eller "subergodiska" flöden (som är en bana tät i någon undergren av dimension som är större än banans dimension). Vi kan inte ha självkorsande banor.

För de flesta "praktiska" tillämpningar av förstklassiga begränsningar ser vi inte sådana komplikationer: kvotutrymmet för det begränsade delutrymmet av f-flödena (med andra ord, omloppsutrymmet) är väluppfört nog för att fungera som ett differentierbart mångfald . , som kan förvandlas till ett symboliskt grenrör genom att projicera den symboliska formen av M på det (detta kan visas vara väldefinierat ). I ljuset av observationen om fysiska observerbara som nämnts tidigare kan vi arbeta med detta mer "fysiska" mindre symplektiska grenrör, men med 2n färre dimensioner.

I allmänhet är kvotutrymmet lite svårt att arbeta med när man gör konkreta beräkningar (för att inte tala om icke-lokala när man arbetar med diffeomorfismbegränsningar ), så det som vanligtvis görs istället är något liknande. Observera att det begränsade undergrenröret är en bunt (men inte en fiberbunt i allmänhet) över kvotgrenröret. Så istället för att arbeta med kvotgrenröret kan vi arbeta med en del av paketet istället. Detta kallas gauge fixing .

Det största problemet är att det här paketet kanske inte har en global sektion i allmänhet. Det är här "problemet" med globala anomalier kommer in till exempel. En global anomali skiljer sig från Gribov-ambiguity , vilket är när en mätare fixering inte fungerar för att fixa en mätare unikt, i en global anomali finns det ingen konsekvent definition av mätfältet. En global anomali är ett hinder för att definiera en kvantmätarteori som upptäcktes av Witten 1980.

Det som har beskrivits är irreducerbara förstklassiga begränsningar. En annan komplikation är att Δf kanske inte är rätt inverterbar på underrymden i den begränsade undergrenen av kodimension 1 eller högre (vilket bryter mot det starkare antagandet som anges tidigare i denna artikel). Detta händer, till exempel i cotetrad -formuleringen av allmän relativitet , vid delrummet av konfigurationer där cotetradfältet och kopplingsformen råkar vara noll över någon öppen delmängd av rymden. Här är begränsningarna diffeomorfismbegränsningarna.

Ett sätt att komma runt detta är detta: För reducerbara begränsningar slappnar vi av villkoret om rätt invertibilitet för Δ f till denna: Varje jämn funktion som försvinner vid nollorna till f är den fibervisa sammandragningen av f med (en icke-unik ) jämn sektion av en ${\bar {V}}$ -vektorbunt där ${\bar {V}}$ är det dubbla vektorutrymmet till begränsningsvektorutrymmet V . Detta kallas regularitetstillståndet .

Begränsad hamiltonsk dynamik från en lagrangisk mätteori

Först och främst kommer vi att anta att handlingen är integralen av en lokal Lagrangian som bara beror upp till den första derivatan av fälten. Analysen av mer allmänna fall, även om det är möjligt, är mer komplicerat. När vi går över till Hamiltons formalism finner vi att det finns begränsningar. Kom ihåg att i handlingsformalismen finns det on-shell- och off-shell- konfigurationer. De begränsningar som håller utanför skalet kallas primära begränsningar medan de som bara håller på skalet kallas sekundära begränsningar.

Exempel

Betrakta dynamiken hos en enpunktspartikel med massan m utan inre frihetsgrader som rör sig i ett pseudo-Riemannskt rymdtidsgrenrör S med metriskt g . Antag också att parametern τ som beskriver partikelns bana är godtycklig (dvs vi insisterar på omparametriseringsinvarians ). Sedan är dess symplektiska utrymme det cotangensknippe T*S med den kanoniska symboliska formen ω .

Om vi ​​koordinerar T * S med dess position x i basgrenröret S och dess position inom det kotangenta utrymmet p , så har vi en begränsning

f = m ² − g ( x ) ⁻¹ ( p , p ) = 0 .

Hamiltonian H är, överraskande nog, H = 0. I ljuset av observationen att Hamiltonian endast definieras upp till ekvivalensklassen av jämna funktioner som överensstämmer med det begränsade delrummet, kan vi istället använda en ny Hamiltonian H ' = f . Sedan har vi det intressanta fallet där Hamiltonian är detsamma som en begränsning! Se Hamiltonsk begränsning för mer information.

Betrakta nu fallet med en Yang–Mills-teori för en verklig enkel Lie-algebra L (med en negativ definitiv dödande form η ) minimalt kopplad till ett reellt skalärt fält σ , som transformeras som en ortogonal representation ρ med det underliggande vektorutrymmet V under L in ( d − 1) + 1 Minkowski rumtid . För l i L skriver vi

ρ(l)[σ]

som

l[σ]

för enkelheten. Låt A vara den L -värderade kopplingsformen för teorin. Observera att A här skiljer sig från A som används av fysiker med faktorn i och g . Detta överensstämmer med matematikerns konvention.

Åtgärden S ges av

${\ displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\ ibland \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1} (D\sigma ,D\sigma ))}$

där g är Minkowski-metriken, F är krökningsformen

$d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

(nej i s eller g s!) där den andra termen är en formell stenografi för att låtsas att Lie-parentesen är en kommutator, D är den kovarianta derivatan

Dσ = dσ − A [σ]

och α är den ortogonala formen för ρ .

Vad är den Hamiltonska versionen av denna modell? Jo, först måste vi dela upp A icke-kovariant i en tidskomponent φ och en rumslig del A → . Sedan har det resulterande symplektiska rymden de konjugerade variablerna σ , π _σ (tar värden i det underliggande vektorutrymmet för ${\displaystyle {\bar {\rho }}} ,$ den dubbla rep av ρ ), A → , π → _A , φ och π _φ . För varje rumslig punkt har vi begränsningarna, π _φ =0 och den Gaussiska begränsningen

${\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\ sigma },\sigma )=0$

där eftersom ρ är en sammanflätning

$\rho :L\otimes V\rightarrow V$ ,

ρ ' är den dualiserade sammanflätningen

$\rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L$

( L är självdual via η ). Hamiltonian,

$H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2 }}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi}}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\ mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi , {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).$

De två sista termerna är en linjär kombination av de Gaussiska begränsningarna och vi har en hel familj av (gauge-ekvivalenter)Hamiltonianer parametriserade av f . Faktum är att eftersom de tre sista mandatperioderna försvinner för de begränsade staterna, kan vi släppa dem.

Andra klassens begränsningar

I ett begränsat Hamilton-system är en dynamisk storhet andra klass om dess Poisson-fäste med minst en begränsning inte försvinner. En begränsning som har en Poisson-parentes som inte är noll med minst en annan begränsning är alltså en andra klass begränsning .

Se Dirac-parenteser för olika illustrationer.

Ett exempel: en partikel som är begränsad till en sfär

Innan du går vidare till den allmänna teorin, överväg ett specifikt exempel steg för steg för att motivera den allmänna analysen.

Börja med handlingen som beskriver en Newtonsk partikel med massan m begränsad till en sfärisk yta med radien R inom ett enhetligt gravitationsfält g . När man arbetar med lagrangemekanik finns det flera sätt att implementera en begränsning: man kan byta till generaliserade koordinater som uppenbart löser begränsningen, eller så kan man använda en Lagrange-multiplikator samtidigt som man behåller de redundanta koordinaterna så begränsade.

I det här fallet är partikeln begränsad till en sfär, därför skulle den naturliga lösningen vara att använda vinkelkoordinater för att beskriva partikelns position istället för kartesisk och lösa (automatiskt eliminera) begränsningen på det sättet (det första valet). Av pedagogiska skäl, överväg istället problemet i (redundanta) kartesiska koordinater, med en Lagrange-multiplikatorterm som upprätthåller begränsningen.

Handlingen ges av

$S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]$

där den sista termen är Lagrange-multiplikatortermen som upprätthåller begränsningen.

Naturligtvis, som antytts, kunde vi bara ha använt olika, icke-redundanta, sfäriska koordinater och skrivit det som

$S=\int dt\left[{\frac { mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta){\dot {\phi }}^{2})+mgR\ cos(\theta )\right]$

istället utan extra begränsningar; men vi överväger den tidigare samordningen för att illustrera begränsningar.

De konjugerade momenten ges av

$p_{x}=m{\dot {x}}$ , $p_{y}=m{\dot {y}}$ , $p_{z}=m{\dot {z}}$ , $p_{\lambda }=0$ .

Observera att vi inte kan bestämma • λ från momentan.

Hamiltonian ges av

$H={\vec {p} }\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})$ .

Vi kan inte eliminera • λ i detta skede ännu. Vi behandlar här • λ som en förkortning för en funktion av det symplektiska rummet som vi ännu inte har fastställt och inte som en oberoende variabel. För notationskonsistens, definiera u ₁ = • λ från och med nu. Ovanstående Hamiltonian med p _λ -termen är den "naiva Hamiltonian". Observera att eftersom begränsningen måste vara uppfylld, på skalet, kan man inte skilja på den naiva Hamiltonianen och den ovanstående Hamiltonianen med den obestämda koefficienten • λ = u ₁ .

Vi har den primära begränsningen

p _X =0 .

Vi kräver, på grund av konsekvens, att Poisson-parentesen för alla begränsningar med Hamiltonian försvinner i det begränsade underrummet. Med andra ord, begränsningarna får inte utvecklas i tiden om de ska vara identiskt noll längs rörelseekvationerna.

Från detta konsistensvillkor får vi omedelbart den sekundära begränsningen

${\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\summa _{i}{\frac { \partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i} }}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac { 1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}$

Denna restriktion bör läggas till Hamiltonian med en obestämd (inte nödvändigtvis konstant) koefficient u _2, vilket förstorar Hamiltonian till

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1 }p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.$

På liknande sätt, från denna sekundära begränsning, finner vi den tertiära begränsningen

${\begin{aligned}0&=\{H ,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_ {PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{ \partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{ y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}$

Återigen bör man lägga till denna begränsning i Hamiltonian, eftersom ingen kan se skillnad på skalet. Därför ser Hamiltonian än så länge ut

$H={ \frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda } +u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,$

där u ₁ , u ₂ och u ₃ fortfarande är helt obestämda.

Observera att alla begränsningar som hittas från konsistensförhållanden ofta kallas sekundära begränsningar och sekundära, tertiära, kvartära, etc. begränsningar särskiljs inte.

Vi fortsätter att vrida på veven och kräver att denna nya begränsning har försvinnande Poisson-fäste

$0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+ \lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.$

Vi kanske misströstar och tror att det inte finns något slut på detta, men eftersom en av de nya Lagrange-multiplikatorerna har dykt upp är detta inte en ny begränsning, utan ett villkor som fixar Lagrange-multiplikatorn:

$u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m} }-{\frac {1}{2}}mgz\right).$

Att koppla in detta till vår Hamiltonian ger oss (efter lite algebra)

$H={\frac { p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}$

Nu när det finns nya termer i Hamiltonian bör man gå tillbaka och kontrollera konsistensvillkoren för de primära och sekundära begränsningarna. Den sekundära begränsningens konsistensvillkor ger

${\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3} r^{2}=0.$

Återigen, detta är inte en ny begränsning; det avgör bara det

$u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.$

Vid denna tidpunkt finns det inga fler begränsningar eller konsistensvillkor att kontrollera !

Få alltid att falla på plats,

$H= \left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2} }\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}} )^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }$ .

När man hittar rörelseekvationerna bör man använda ovanstående Hamiltonian, och så länge man är noga med att aldrig använda restriktioner innan man tar derivator i Poisson-parentesen så får man de korrekta rörelseekvationerna. Det vill säga rörelseekvationerna ges av

${\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\ {{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.$

Innan du analyserar Hamiltonian, överväg de tre begränsningarna,

$\varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec { p}}\cdot {\vec {r}}.$

Notera den icke-triviala Poisson-fästestrukturen för begränsningarna. Särskilt,

$\{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.$

Ovanstående Poisson-fäste misslyckas inte bara med att försvinna utanför skalet, vilket kan förutses, utan även på skalet är det inte noll . Därför är φ ₂ och φ ₃ andra klassens begränsningar medan φ ₁ är en första klassens begränsning. Observera att dessa begränsningar uppfyller regularitetsvillkoret.

Här har vi ett symplektiskt utrymme där Poisson-fästet inte har "fina egenskaper" på det begränsade underutrymmet. Dirac märkte dock att vi kan förvandla det underliggande differentialröret i det symplektiska rummet till ett Poisson-grenrör med hjälp av hans modifierade parentes med samma namn, kallad Dirac-fästet , så att denna Dirac-fäste av vilken som helst (smidig) funktion med någon av de andra klassens begränsningar alltid försvinner .

Dessa konsoler (illustrerade för denna sfäriska yta i Dirac-fästeartikeln ) projicerar effektivt systemet tillbaka på begränsningsytan. Om man sedan önskade kanoniskt kvantisera detta system, måste man främja de kanoniska Dirac-parenteserna, inte de kanoniska Poisson-parenteserna till kommuteringsrelationer.

Granskning av ovanstående Hamiltonian visar att ett antal intressanta saker händer. En sak att notera är att, on-shell när begränsningarna är uppfyllda, är den utökade Hamiltonian identisk med den naiva Hamiltonian, efter behov. Observera också att λ hoppade av den utökade Hamiltonian. Eftersom φ ₁ är en första klass primär begränsning, bör den tolkas som en generator av en mättransformation. Mätfriheten är friheten att välja λ , som har upphört att ha någon effekt på partikelns dynamik. Därför är att λ hoppade av Hamiltonian, att u ₁ är obestämd och att φ ₁ = p _λ är första klass, alla är nära relaterade.

Observera att det skulle vara mer naturligt att inte börja med en Lagrange med en Lagrange-multiplikator, utan istället ta r ² − R ² som en primär restriktion och gå vidare genom formalismen: Resultatet skulle eliminera den främmande λ dynamiska storheten. Exemplet är dock mer utvecklande i sin nuvarande form.

Se även: Dirac-fäste

Exempel: Proca action

Ett annat exempel som vi kommer att använda är Proca-åtgärden . Fälten är $A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )$ och åtgärden är

$S=\int d^{d}xdt\left [{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}} A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]$

var

${\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}$

och

$B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}$ .

$({\vec {A}},-{\vec {E}})$ och $(\phi ,\pi )$ är kanoniska variabler . Den andra klassens begränsningar är

$\pi \approx 0$

och

$\nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0$ .

Hamiltonian ges av

$H= \int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^ {2}}{2}}\phi ^{2}\right]$ .

Se även

• Dirac fäste
• Holonomisk begränsning
• Analys av flöden

Vidare läsning

• Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). "Dirac-bracket kvantisering av ett begränsat olinjärt system: Den stela rotatorn". European Journal of Physics . 4 : 5. Bibcode : 1983EJPh....4....5F . doi : 10.1088/0143-0807/4/1/003 .
• Homma, T.; Inamoto, T.; Miyazaki, T. (1990). "Schrödinger-ekvationen för den icke-relativistiska partikeln begränsad på en hyperyta i ett krökt utrymme". Fysisk granskning D . 42 (6): 2049. Bibcode : 1990PhRvD..42.2049H . doi : 10.1103/PhysRevD.42.2049 .