Matrisrepresentation av Maxwells ekvationer

I elektromagnetism , en gren av grundläggande fysik , är matrisrepresentationerna av Maxwells ekvationer en formulering av Maxwells ekvationer genom att använda matriser , komplexa tal och vektorkalkyl . Dessa representationer är för ett homogent medium , en approximation i ett inhomogent medium . En matrisrepresentation för ett inhomogent medium presenterades med hjälp av ett par matrisekvationer. En enda ekvation med 4 × 4 matriser är nödvändig och tillräcklig för alla homogena medium. För ett inhomogent medium kräver det nödvändigtvis 8 × 8 matriser.

Introduktion

Maxwells ekvationer i standard vektorkalkylformalism, i ett inhomogent medium med källor, är:

${\begin{aligned}&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {D} }\left({\mathbf {r} },t\right)=\rho \,\\& {\mathbf {\nabla } }\ gånger {\mathbf {H} }\left({\mathbf {r} },t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf { D} }\left({\mathbf {r} },t\right)={\mathbf {J} }\,\\&{\mathbf {\nabla} }\times {\mathbf {E} }\left ({\mathbf {r} },t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {B} }\left({\mathbf {r}},t\right)= 0\,\\&{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {B} }\left({\mathbf {r} },t\right)=0\,.\end{aligned}}$

Medierna antas vara linjära , det vill säga

${\mathbf {D} }=\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$ ,

där skalär $\varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)$ är permittiviteten för mediet och skalär $\mu = \mu (\mathbf {r} ,t)$ mediets permeabilitet ( se konstitutiv ekvation ). För ett homogent medium $\varepsilon$ och $\mu$ konstanter. Ljusets hastighet i mediet ges av

$v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon ({ \mathbf {r} },t)\,\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}$ .

I vakuum, $\varepsilon _{0}=\,$ 8,85 × 10 ⁻¹² C ² ·N ⁻¹ ·m ⁻² och $\mu _{0}=4\ pi \,$ × 10 ⁻⁷ H·m ⁻¹

Ett möjligt sätt att få den erforderliga matrisrepresentationen är att använda Riemann-Silberstein-vektorn som ges av

${\begin{aligned}{\mathbf {F} }^{+}\left({\mathbf {r}},t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\, }}}\left[{\sqrt {\varepsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf {r} },t\right )+{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r} },t)\,}}}{\mathbf {B} }\left({ \mathbf {r} },t\right)\right]\\{\mathbf {F} }^{-}\left({\mathbf {r} },t\right)&={\frac {1} {\sqrt {2\,}}}\left[{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\,}}\,{\mathbf {E} }\left({\mathbf { r} },t\right)-{\rm {i}}\,{\frac {1}{\sqrt {\mu ({\mathbf {r}},t)\,}}}{\mathbf { B} }\left({\mathbf {r} },t\right)\right]\,.\end{aligned}}$

Om för ett visst medium $\varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)$ och $\mu =\mu (\ mathbf {r} ,t)$ är skalärkonstanter (eller kan behandlas som lokala skalärkonstanter under vissa approximationer), då vektorerna ${\mathbf {F} }^{\pm } (\mathbf {r} ,t)$ uppfyller

${\begin{aligned}{\rm {i}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf { r} },t\right)&=\pm v\,{\mathbf {\nabla } }\times {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r} },t\ höger)-{\frac {1}{\sqrt {2\epsilon \,}}}({\rm {i}}\,{\mathbf {J} })\\{\mathbf {\nabla } }\ cdot {\mathbf {F} }^{\pm }\left({\mathbf {r}},t\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\varepsilon \,}}}(\ rho )\,.\end{aligned}}$

Genom att använda Riemann–Silberstein-vektorn är det alltså möjligt att återuttrycka Maxwells ekvationer för ett medium med konstant $\varepsilon =\varepsilon (\mathbf {r} ,t)$ och $\mu =\mu (\mathbf {r} ,t)$ som ett par konstitutiva ekvationer.

Homogent medium

För att erhålla en enda matrisekvation istället för ett par, konstrueras följande nya funktioner med hjälp av komponenterna i Riemann–Silberstein-vektorn

${\begin{aligned}\Psi ^{+}({\mathbf {r} },t)&=\left[{\begin{array}{c}-F_{x}^{+}+ {\rm {i}}F_{y}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{z}^{+}\\F_{x}^{+}+{\rm { i}}F_{y}^{+}\end{array}}\right]\,\quad \Psi ^{-}({\mathbf {r}},t)=\left[{\begin{array }{c}-F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\\F_{z}^{-}\\F_{z}^{-}\ \F_{x}^{-}-{\rm {i}}F_{y}^{-}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}$

Vektorerna för källorna är

${\begin{aligned}W^{+}&=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{\begin{array}{c} -J_{x}+{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x}+{\rm {i} }J_{y}\end{array}}\right]\,\quad W^{-}=\left({\frac {1}{\sqrt {2\epsilon }}}\right)\left[{ \begin{array}{c}-J_{x}-{\rm {i}}J_{y}\\J_{z}-v\rho \\J_{z}+v\rho \\J_{x }-{\rm {i}}J_{y}\end{array}}\right]\,.\end{aligned}}$

Sedan,

${\begin{aligned}{\begin{aligned} \partial }{\partial t}}\Psi ^{+}&=-v\left\{{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla} }\right\}\Psi ^{+} -W^{+}\,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{-}&=-v\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right\}\Psi ^{-}-W^{-}\,\end{aligned}}$

där * betecknar komplex konjugation och tripletten, M = [ M _x , M _y , M _z ] är en vektor vars komponentelement är abstrakta 4×4-matriser som ges av

$M_{x}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}},$

$}$

$M_{y}={\rm {i}}{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\+1&0&0&0\\0&+1&0&0\end{bmatrix}$

$M_{z}={\begin{bmatrix}+1&0&0&0\\0&+1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\,.$

Komponenten M -matriser kan bildas med användning av:

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2} }\\{\mathbf {I} _{2}}&{\mathbf {0} }\end{bmatrix}}\,\qquad \beta ={\begin{bmatrix}{\mathbf {I} _{2 }}&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&-{\mathbf {I} _{2}}\end{bmatrix}}\,,$

där $\mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,,$

från vilken, få:

$M_{x}=-\beta \Omega ,\qquad M_{y}={\rm {i}}\Omega ,\qquad M_{z}=\beta \,.$

Alternativt kan man använda matrisen $J=-\Omega \,.$ Som bara skiljer sig med ett tecken. För vårt syfte går det bra att använda antingen Ω eller J . Men de har en annan betydelse: J är kontravariant och Ω är kovariant . Matrisen Ω motsvarar Lagrange-parenteserna i klassisk mekanik och J motsvarar Poisson-parenteserna .

Notera det viktiga sambandet $\Omega =J^{-1}\,.$

Var och en av de fyra Maxwells ekvationer erhålls från matrisrepresentationen. Detta görs genom att ta summan och skillnaderna för rad-I med rad-IV respektive rad-II med rad-III. De tre första ger y- , x- och z -komponenterna för krullen och den sista ger divergensvillkoren .

Matriserna M är alla icke -singular och alla är hermitiska . Dessutom uppfyller de den vanliga ( quaternion -liknande) algebra för Dirac-matriserna , inklusive,

${\begin{aligned}M_{x}M_{z}=-M_{z}M_{x}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}\ ,\\\\M_{x}^{2}=M_{y}^{2}=M_{z}^{2}=I\,\\\\M_{x}M_{y}=-M_ {y}M_{x}={\rm {i}}M_{z}\,\\M_{y}M_{z}=-M_{z}M_{y}={\rm {i}}M_ {x}\,\\M_{z}M_{x}=-M_{x}M_{z}={\rm {i}}M_{y}\,.\end{aligned}}$

(Ψ ^± , M ) är inte unika. Olika val av Ψ ^± skulle ge upphov till olika M , så att tripletten M fortsätter att uppfylla Dirac-matrisernas algebra. Ψ ^± via Riemann–Silberstein-vektorn har vissa fördelar jämfört med andra möjliga val. Riemann–Silberstein-vektorn är välkänd inom klassisk elektrodynamik och har vissa intressanta egenskaper och användningsområden.

Vid härledning av ovanstående 4×4-matrisrepresentation av Maxwells ekvationer har de rumsliga och tidsmässiga derivatorna av ε( r , t ) och μ( r , t ) i de två första av Maxwells ekvationer ignorerats. ε och μ har behandlats som lokala konstanter.

Inhomogent medium

I ett inhomogent medium är de rumsliga och tidsmässiga variationerna av ε = ε( r , t ) och μ = μ( r , t ) inte noll. Det vill säga att de inte längre är lokala konstanter. Istället för att använda ε = ε( r , t ) och μ = μ( r , t ) är det fördelaktigt att använda de två härledda laboratoriefunktionerna nämligen resistansfunktionen och hastighetsfunktionen

${\begin{aligned}{\text{ Velocity function:}}\,v({\mathbf {r}},t)&={\frac {1}{\sqrt {\epsilon ({\mathbf {r} },t)\mu ({\mathbf {r} },t)}}}\\{\text{Resistensfunktion:}}\,h({\mathbf {r} },t)&= {\sqrt {\frac {\mu ({\mathbf {r} },t)}{\epsilon ({\mathbf {r} },t)}}}\,.\end{aligned}}$

När det gäller dessa funktioner:

$\varepsilon ={\frac {1}{vh}}\,,\quad \mu ={\frac {h}{v}}$ .

Dessa funktioner förekommer i matrisrepresentationen genom sina logaritmiska derivator ;

${\begin{aligned}{\mathbf { u} }({\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2v({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }v({\mathbf {r} },t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln v({\mathbf {r}},t)\right\}=- {\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln n({\mathbf {r} },t)\right\}\\{\mathbf {w} }( {\mathbf {r} },t)&={\frac {1}{2h({\mathbf {r} },t)}}{\mathbf {\nabla } }h({\mathbf {r} } ,t)={\frac {1}{2}}{\mathbf {\nabla } }\left\{\ln h({\mathbf {r}},t)\right\}\,\end{aligned }}$

var

$n({\mathbf {r} },t)={\frac {c}{v({\mathbf {r} },t)} }$

är mediets brytningsindex .

Följande matriser uppstår naturligt i den exakta matrisrepresentationen av Maxwells ekvation i ett medium

${\begin{aligned}{\mathbf {\Sigma } }=\left[{\begin{array}{cc}{\ mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {\ alpha } }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\mathbf {\sigma } }\\{\mathbf {\sigma } }&{\mathbf {0} } \end{array}}\right]\,\qquad {\mathbf {I} }=\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {1} }&{\mathbf {0} }\\ {\mathbf {0} }&{\mathbf {1} }\end{array}}\right]\,\end{aligned}}$

där Σ är Dirac-spinmatriserna och α är matriserna som används i Dirac-ekvationen och σ är tripletten av Pauli-matriserna

${\mathbf {\sigma } }=(\sigma _{x} ,\sigma _{y},\sigma _{z})=\left[{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-{\rm {i} }\\{\rm {i}}&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right]$

Slutligen är matrisrepresentationen

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-{ \frac {{\dot {v}}({\mathbf {r} },t)}{2v({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{ \mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\\{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]+{\frac {{\dot {h}}({\mathbf {r} },t)}{ 2h({\mathbf {r} },t)}}\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {0} }&{\rm {i}}\beta \alpha _{y}\ \{\rm {i}}\beta \alpha _{y}&{\mathbf {0} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+ }\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]\\&=-v({\mathbf {r} },t)\left[{\begin{array}{ccc}\left\ {{\mathbf {M} }\cdot {\mathbf {\nabla} }+{\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {u} }\right\}&&-{\rm {i}}\ beta \left({\mathbf {\Sigma } }\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}\\-{\rm {i}}\beta \left({\mathbf {\ Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {w} }\right)\alpha _{y}&\left\{{\mathbf {M} }^{*}\cdot {\mathbf {\nabla } }+{\mathbf {\Sigma } }^{*}\cdot {\mathbf {u} }\right\}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{cc}{\mathbf {I} }&{\mathbf {0} }\ \{\mathbf {0} }&{\mathbf {I} }\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}W^{+}\\W^{-}\ end{array}}\right]\,\end{aligned}}$

Ovanstående representation innehåller tretton 8 × 8 matriser. Tio av dessa är hermitiska . De exceptionella är de som innehåller de tre komponenterna i w ( r , t ), den logaritmiska gradienten för motståndsfunktionen. Dessa tre matriser för motståndsfunktionen är antihermitiska .

varierande permittivitet ε = ε( r , t ) och permeabilitet μ = μ( r , t ), i närvaro av källor. Denna representation använder en enda matrisekvation istället för ett par matrisekvationer. I denna representation, med hjälp av 8 × 8 matriser, har det varit möjligt att separera beroendet av kopplingen mellan de övre komponenterna (Ψ ⁺ ) och de nedre komponenterna (Ψ ⁻ ) genom de två laboratoriefunktionerna. Dessutom har den exakta matrisrepresentationen en algebraisk struktur mycket lik Dirac-ekvationen. Maxwells ekvationer kan härledas från Fermats princip om geometrisk optik genom processen av "wavization" [ analogt med kvantiseringen av klassisk mekanik .

Ansökningar

En av de tidiga användningarna av matrisformerna för Maxwells ekvationer var att studera vissa symmetrier och likheterna med Dirac-ekvationen.

Matrisformen av Maxwells ekvationer används som en kandidat för fotonvågfunktionen .

Historiskt sett är den geometriska optiken baserad på Fermats princip om minsta tid . Geometrisk optik kan helt härledas från Maxwells ekvationer. Detta görs traditionellt med Helmholtz-ekvationen . Helmholtz-ekvationens härledning från Maxwells ekvationer är en approximation eftersom man försummar de rumsliga och tidsmässiga derivatorna av mediets permittivitet och permeabilitet. En ny formalism för ljusstråleoptik har utvecklats, som börjar med Maxwells ekvationer i en matrisform: en enda enhet som innehåller alla fyra Maxwells ekvationer. Ett sådant recept kommer säkert att ge en djupare förståelse av stråloptik och polarisering på ett enhetligt sätt. Den stråloptiska Hamiltonianen som härleds från denna matrisrepresentation har en algebraisk struktur mycket lik Dirac-ekvationen , vilket gör den mottaglig för Foldy-Wouthuysen-tekniken . Detta tillvägagångssätt är mycket likt det som utvecklats för kvantteorin för stråloptik med laddade partiklar.

Andra

• Bialynicki-Birula, I. (1994). På fotonens vågfunktion. Acta Physica Polonica A, 86 , 97–116.
• Bialynicki-Birula, I. (1996a). Fotonvågsfunktionen. I koherens och kvantoptik VII . Eberly, JH , Mandel, L. och Emil Wolf (red.), Plenum Press, New York, 313.
• Bialynicki-Birula, I. (1996b). Fotonvågsfunktion . in Progress in Optics , Vol. XXXVI, Emil Wolf . (red.), Elsevier , Amsterdam, 245–294.
• Jackson, JD (1998). Classical Electrodynamics , tredje upplagan, John Wiley & Sons.
• Jagannathan, R. , (1990). Kvantteori för elektronlinser baserad på Dirac-ekvationen . Physical Review A , 42 , 6674–6689.
• Jagannathan, R. och Khan, SA (1996). Kvantteori för optiken hos laddade partiklar . I Hawkes Peter, W. (red.), Advances in Imaging and Electron Physics, Vol. 97 , Academic Press, San Diego, s. 257–358.
• Jagannathan, R. , Simon, R. , Sudarshan, ECG och Mukunda, N. (1989). Kvantteori för magnetiska elektronlinser baserad på Dirac-ekvationen . Fysik Bokstäver A 134 , 457–464.
• Khan, SA (1997). Quantum Theory of Charged-Particle Beam Optics , Ph.D-avhandling , University of Madras , Chennai , Indien . (fullständig avhandling tillgänglig från Dspace of IMSc Library , Institute of Mathematical Sciences , där doktorandforskningen gjordes).
• Sameen Ahmed Khan . (2002). Maxwell Optics: I. En exakt matrisrepresentation av Maxwells ekvationer i ett medium . E-Print : https://arxiv.org/abs/physics/0205083/ .
• Sameen Ahmed Khan . (2005). En exakt matrisrepresentation av Maxwells ekvationer . Physica Scripta , 71 (5), 440–442.
• Sameen Ahmed Khan . (2006a). Foldy-Wouthuysen transformationsteknik inom optik . Optik-International Journal for Light and Electron Optics . 117 (10), s. 481–488 http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ .
•     Sameen Ahmed Khan . (2006b). Våglängdsberoende effekter i ljusoptik. i New Topics in Quantum Physics Research , Redaktörer: Volodymyr Krasnoholovets och Frank Columbus, Nova Science Publishers , New York, s. 163–204. ( ISBN 1600210287 och ISBN 978-1600210280 ).
•     Sameen Ahmed Khan . (2008). The Foldy-Wouthuysen Transformation Technique in Optics , I Hawkes Peter, W. (red.), Advances in Imaging and Electron Physics , Vol. 152, Elsevier , Amsterdam, s. 49–78. ( ISBN 0123742196 och ISBN 978-0-12-374219-3 ).
• Sameen Ahmed Khan . (2010). Maxwell Optics of Quasiparaxial Beams , Optik-International Journal for Light and Electron Optics , 121 (5), 408–416. ( http://www.elsevier-deutschland.de/ijleo/ ).
• Laporte, O. och Uhlenbeck, GE (1931). Tillämpningar av spinoranalys på Maxwell- och Dirac-ekvationerna. Physical Review , 37 , 1380–1397.
• Majorana, E. (1974). (opublicerade anteckningar), citerade efter Mignani, R., Recami, E. och Baldo, M. About a Diraclike Equation for the Photon, Enligt Ettore Majorana. Lettere al Nuovo Cimento , 11 , 568–572.
• Moses, E. (1959). Lösningar av Maxwells ekvationer i termer av en spinornotation: de direkta och omvända problemen. Physical Review , 113 (6), 1670–1679.
• Panofsky, WKH och Phillips, M. (1962). Classical Electricity and Magnetics , Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, USA.
• Pradhan, T. (1987). Maxwells ekvationer från geometrisk optik . IP/BBSR/87-15; Fysik Bokstäver A 122 (8), 397–398.
• Ludwig Silberstein . (1907a). Elektromagnetische Grundgleichungen in bivektorieller Behandlung , Ann. Phys. (Leipzig), 22, 579–586.
• Ludwig Silberstein . (1907b). Nachtrag zur Abhandlung ber Elektromagnetische Grundgleichungen in bivektoriell Behandlung . Ann. Phys. (Leipzig), 24, 783–784.