Normalt p-komplement

I matematisk gruppteori är ett normalt p-komplement av en finit grupp för ett primtal p en normal undergrupp av ordningen coprime till p och indexera en potens av p . Med andra ord är gruppen en halvdirekt produkt av det normala p -komplementet och vilken som helst Sylow p -undergrupp . En grupp kallas p-nilpotent om den har ett normalt p -komplement.

Cayleys normala 2-komplementsats

Cayley visade att om Sylow 2-undergruppen i en grupp G är cyklisk så har gruppen ett normalt 2-komplement, vilket visar att Sylow 2-undergruppen i en enkel grupp av jämn ordning inte kan vara cyklisk.

Burnside normal p-komplementsats

Burnside ( 1911 , Theorem II, avsnitt 243) visade att om en Sylow p -undergrupp i en grupp G är i mitten av sin normalisator så har G ett normalt p -komplement. Detta innebär att om p är det minsta primtal som delar ordningen för en grupp G och Sylow p -undergruppen är cyklisk, så har G ett normalt p -komplement.

Frobenius normala p-komplementsats

Frobenius normala p -komplementsats är en förstärkning av Burnsides normala p -komplementsats, som säger att om normaliseraren för varje icke-trivial undergrupp av en Sylow p -undergrupp av G har ett normalt p -komplement, så har G det också . Mer exakt är följande villkor likvärdiga:

• G har ett normalt p -komplement
• Normaliseraren för varje icke-trivial p -undergrupp har ett normalt p -komplement
• För varje p -undergrupp Q är gruppen NG ₍ Q ) /CG ₍ Q ) en p -grupp.

Thompsons normala p-komplementsats

Frobenius normala p -komplementsats visar att om varje normaliserare av en icke-trivial undergrupp av en Sylow p -subgrupp har ett normalt p -komplement så har G också . För applikationer är det ofta användbart att ha en starkare version där man istället för att använda alla icke-triviala undergrupper av en Sylow p -undergrupp, bara använder de icke-triviala karakteristiska undergrupperna. För udda primtal hittade Thompson ett sådant förstärkt kriterium: i själva verket behövde han inte alla karakteristiska undergrupper, utan bara två speciella.

Thompson (1964) visade att om p är ett udda primtal och grupperna N(J( P )) och C(Z( P )) båda har normala p -komplement för en Sylow P-undergrupp av G , så har G en normal p -komplement.

I synnerhet om normaliseraren för varje icke-trivial karakteristisk undergrupp av P har ett normalt p -komplement, så har G också . Denna konsekvens är tillräcklig för många tillämpningar.

Resultatet misslyckas för p = 2 eftersom den enkla gruppen _{motexempel .} PSL2 ( F7 ) av ordningen 168 är ett

Thompson (1960) gav en svagare version av detta teorem.

Glaubermans normala p-komplementsats

Thompsons normala p -komplementsats använde villkor på två speciella karakteristiska undergrupper av en Sylow p -undergrupp. Glauberman förbättrade detta ytterligare genom att visa att man bara behöver använda en karakteristisk undergrupp: mitten av Thompson-undergruppen.

Glauberman (1968) använde sin ZJ-sats för att bevisa en normal p -komplementsats, att om p är ett udda primtal och normaliseraren för Z(J(P)) har ett normalt p -komplement, för P en Sylow p -undergrupp av G , då gör G också . Här Z för mitten av en grupp och J för Thompson-undergruppen .

Resultatet misslyckas för p = 2 eftersom den enkla gruppen _{motexempel .} PSL2 ( F7 ) av ordningen 168 är ett

•    Burnside, William (1911) [1897], Theory of groups of finite order (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-1-108-05032-6 , MR 0069818 Reprinted by Dover 1955
•    Glauberman, George (1968), "A characteristic subgroup of a p-stable group" , Canadian Journal of Mathematics , 20 : 1101–1135, doi : 10.4153/cjm-1968-107-2 , ISSN 0008-404X , 8MR 702
•    Gorenstein, D. (1980), Finite groups (2:a upplagan), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6 , MR 0569209
•     Thompson, John G. (1960), "Normala p-komplement för finita grupper", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332–354, doi : 10.1007 / BF01162958 , ISSN 0025-5874 , MR 0117288ID 11172889
•   Thompson, John G. (1964), "Normal p-komplement för finita grupper", Journal of Algebra , 1 : 43–46, doi : 10.1016/0021-8693(64) 90006-7 , ISSN 0021-86013 , 752