Kostant polynom

Inom matematiken ger Kostantpolynomen, uppkallade efter Bertram Kostant , en explicit grund för ringen av polynom över ringen av polynom som är invariant under den finita reflektionsgruppen i ett rotsystem .

Bakgrund

Om reflektionsgruppen W motsvarar Weyl-gruppen i en kompakt halvenkel grupp K med maximal torus T , så beskriver Kostant-polynomen strukturen för de Rham-kohomologin för den generaliserade flaggmanifolden K / T , även isomorf till G / B där G är komplexifieringen av K och B är motsvarande Borel-undergrupp . Armand Borel visade att dess kohomologiring är isomorf till kvoten av ringen av polynom av det ideal som genereras av de oföränderliga homogena polynomen av positiv grad. Denna ring hade redan övervägts av Claude Chevalley när han etablerade grunden för kohomologin av kompakta Lie-grupper och deras homogena utrymmen med André Weil , Jean-Louis Koszul och Henri Cartan ; förekomsten av en sådan grund användes av Chevalley för att bevisa att ringen av invarianter i sig var en polynomring. En detaljerad redogörelse för Kostant-polynom gavs av Bernstein, Gelfand & Gelfand (1973) och oberoende Demazure (1973) som ett verktyg för att förstå Schubert-kalkylen för flaggmanifolden. Kostant-polynomen är relaterade till Schubert-polynomen definierade kombinatoriskt av Lascoux & Schützenberger (1982) för den klassiska flaggan, när G = SL(n, C ). Deras struktur styrs av differensoperatorer associerade med motsvarande rotsystem .

Steinberg (1975) definierade en analog grund när polynomringen ersätts med ringen av exponentialer av viktgittret . Om K helt enkelt är kopplad kan denna ring identifieras med representationsringen R ( T ) och den W -invarianta subringen med R ( K ). Steinbergs grund motiverades återigen av ett problem om topologin hos homogena utrymmen; grunden uppstår vid beskrivning av T - ekvivariant K-teorin för K / T .

Definition

Låt Φ vara ett rotsystem i ett ändligt dimensionellt reellt inre produktrum V med Weyl-grupp W . Låt Φ ⁺ vara en uppsättning positiva rötter och Δ motsvarande uppsättning enkla rötter. Om α är en rot, så s _α motsvarande reflektionsoperator. Rötter betraktas som linjära polynom på V med den inre produkten α( v ) = (α, v ). Valet av Δ ger upphov till en Bruhat-ordning på Weyl-gruppen som bestäms av sätten att skriva element minimalt som produkter av enkel rotreflektion. Den minimala längden för ett element s betecknas $\ell (s)$ . Välj ett element v i V så att α ( v ) > 0 för varje positiv rot.

Om α _i är en enkel rot med reflektionsoperator s _i

$s_{i}x=x-2{(x,\alpha _{i}) \over (\ alpha _{i},\alpha _{i})}\alpha _{i},$

definieras motsvarande delade differensoperatorn av

$\delta _{i}f={ff\circ s_{i} \over \alpha _{i}}.$

Om $\ell (s)=m$ och s har reducerat uttryck

$s=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{m}},$

sedan

$\delta _{s}=\delta _{i_{1}}\cdots \delta _{i_{m}}$

är oberoende av det reducerade uttrycket. Dessutom

$\delta _{s}\delta _{t}=\delta _{st}$

om $\ell (st)=\ell (s)+\ell (t)$ och 0 annars.

₀ Om w är det längsta elementet i W , elementet med störst längd eller motsvarande elementet som skickar Φ ⁺ till −Φ ⁺ , då

$\delta _{w_{0}}f={\sum _{s\in W}\det s\,f\circ s \over \prod _{\alpha >0}\alpha }.$

Mer allmänt

$\delta _{s}f={\det s\,f\ circ s+\sum _{t<s}a_{s,t}\,f\circ t \over \prod _{\alpha >0,\,s^{-1}\alpha <0}\alpha }$

för vissa konstanter a _{s , t} .

Uppsättning

$d=|W|^{-1}\prod _{\alpha >0}\alpha .$

och

$P_{s}=\delta _{s^{-1}w_{0}}d.$

Då är P _s ett homogent polynom med grad $\ell (s)$ .

Dessa polynom är Kostant-polynomen .

Egenskaper

Sats . Kostantpolynomen bildar en fri bas för ringen av polynom över de W-invarianta polynomen.

Faktiskt matrisen

$N_{st}=\delta _{s}(P_{t})$

är entriangulär för varje total ordning så att s ≥ t innebär $\ell (s)\geq \ell (t)$ .

Därav

$\det N=1.$

Alltså om

$f=\sum _{s}a_{s}P_{s}$

med a _s invariant under W , alltså

$\delta _{t}(f)=\summa _{s}\delta _{t}(P_{s})a_{s}.$

Således

$a_{s}=\sum _{t}M_{s,t}\delta _{t}(f),$

var

$M=N^{-1}$

en annan entriangulär matris med polynomposter. Det kan kontrolleras direkt att a _s är invariant under W .

Faktum är att δ _i uppfyller härledningsegenskapen

$\delta _{i}(fg)=\delta _{i}(f)g+(f\circ s_{i})\delta _{i}(g).$

Därav

$\delta _{i}\delta _{s}(f)=\summa _{t}\delta _{i}(\delta _{s}(P_{t}))a_{t}) =\summa _{t}(\delta _{s}(P_{t})\circ s_{i})\delta _{i}(a_{t})+\summa _{t}\delta _{ i}\delta _{s}(P_{t})a_{t}.$

Eftersom

$\delta _{i}\delta _{s}=\delta _{s_{i}s}$

eller 0, det följer att

$\sum _{t}\delta _{s}(P_{t})\,\delta _{i}(a_{ t})\circ s_{i}=0$

så att genom inverterbarheten av N

$\delta _{i}(a_{t})=0$

för all i , dvs a _t är invariant under W .

Steinbergs grund

Låt som ovan Φ vara ett rotsystem i ett verkligt inre produktrum V , och Φ ⁺ en delmängd av positiva rötter. Från dessa data får vi delmängden Δ = { α ₁ , α ₂ , …, α _n } av de enkla rötterna, rötterna

$\alpha _{i}^{\vee }=2(\alpha _{i},\alpha _{i})^{ -1}\alpha _{i},$

och de fundamentala vikterna λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n som den dubbla basen för koroterna.

För varje element s i W , låt Δ _s vara delmängden av Δ som består av de enkla rötterna som uppfyller s ⁻¹ α < 0, och sätt

$\lambda _{s}=s^{-1}\summa _{\alpha _{i}\in \Delta _{s}} \lambda _{i},$

där summan beräknas i viktgittret P .

Mängden linjära kombinationer av exponentialen e ^μ med heltalskoefficienter för μ i P blir en ring över Z isomorf till gruppalgebra av P , eller ekvivalent med representationsringen R ( T ) av T , där T är en maximal torus i K , den enkelt sammankopplade, kompakta halvenkla Lie-gruppen med rotsystem Φ. Om W är Weyl-gruppen av Φ, då representationsringen R ( K ) för K kan identifieras med R ( T ) ^W .

Steinbergs teorem . Exponentialerna λ _s ( s i W ) bildar en fri bas för ringen av exponentialer över subringen av W - invarianta exponentialer.

Låt ρ beteckna halvsumman av de positiva rötterna, och A beteckna antisymmetriseringsoperatorn

$A(\psi )=\sum _{s\in W}(-1)^{\ell (s)}s\cdot \psi .$

De positiva rötterna β med s β positiva kan ses som en uppsättning positiva rötter för ett rotsystem på ett delrum av V ; rötterna är de som är ortogonala mot s.λ _s . Motsvarande Weyl-grupp är lika med stabilisatorn för λ _s i W . Den genereras av de enkla reflektionerna s _j för vilka s α _j är en positiv rot.

Låt M och N vara matriserna

$M_{ts}=t(\lambda _{s}),\,\ ,N_{st}=(-1)^{\ell (t)}\cdot t(\psi _{s}),$

där ψ _s ges av vikten s ⁻¹ ρ - λ _s . Sedan matrisen

$B_{s,s'}=\Omega ^{-1}(NM)_{ s,s'}={A(\psi _{s}\lambda _{s'}) \över \Omega }$

är triangulär med avseende på vilken total ordning som helst på W så att s ≥ t innebär $\ell (s)\geq \ell (t)$ . Steinberg bevisade att posterna i B är W -invarianta exponentialsummor. Dessutom är dess diagonala poster alla lika med 1, så den har determinant 1. Därför har dess inversa C samma form. Definiera

$\varphi _{s}=\summa C_{s,t}\psi _{t}.$

Om χ är en godtycklig exponentiell summa, så följer det

$\chi =\summa _{s\in W}a_{s}\lambda _{s}$

med a _s den W -invarianta exponentialsumman

$a_{s}={A(\varphi _{s}\chi ) \over \Omega }.$

Detta är faktiskt den unika lösningen av ekvationssystemet

$t\chi =\sum _{s\in W}t(\lambda _{s})\,\,a_{s}=\summa _{s}M_{t,s}a_{s} .$

•   Bernstein, IN; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), "Schubert-celler och utrymmenas kohomologi G/P", Russian Math. Surveys , 28 (3): 1–26, doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 , S2CID 250748691
•    Billey, Sara C. (1999), "Kostantpolynom och kohomologiringen för G/B.", Duke Math. J. , 96 : 205–224, CiteSeerX 10.1.1.11.8630 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-09606-0 , S2CID 16184223
•   Bourbaki, Nicolas (1981), Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4, 5 et 6 , Masson, ISBN 978-2-225-76076-1
• Cartan, Henri (1950), "Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles : 15–27
• Cartan, Henri (1950), "La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal", Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles : 57–71
•   Chevalley, Claude (1955), "Invarianter av finita grupper genererade av reflektioner", Amer. J. Math. , 77 (4): 778–782, doi : 10.2307/2372597 , JSTOR 2372597
•   Demazure, Michel (1973), "Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion", Invent. Matematik. , 21 (4): 287–301, Bibcode : 1973InMat..21..287D , doi : 10.1007/BF01418790 , S2CID 123253975
• Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1976), Connections, curvature, and cohomology. Volym III: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces , Pure and Applied Mathematics, vol. 47-III, Academic Press
•   Humphreys, James E. (1994), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (2:a upplagan), Springer, ISBN 978-0-387-90053-7
•   Kostant, Bertram (1963), "Lie algebra cohomology and generalized Schubert cells", Ann. av matte. , 77 (1): 72–144, doi : 10.2307/1970202 , JSTOR 1970202
•   Kostant, Bertram (1963), "Löggruppsrepresentationer på polynomringar", Amer . J. Math. , 85 (3): 327–404, doi : 10.2307/2373130 , JSTOR 2373130
•    Kostant, Bertram ; Kumar, Shrawan (1986), "The nil Hecke ring and cohomology of G/P for a Kac–Moody group G.", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 83 (6): 1543–1545, Bibcode : 1986PNAS...83.1543K , doi : 10.1073/pnas.83.6.1543 , PMC 323118 , PMID 16593661
• Alain, Lascoux ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), "Polynômes de Schubert [Schubert polynomials]", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 : 447–450
• McLeod, John (1979), The Kunneth formula in equivariant K-theory , Lecture Notes in Math., vol. 741, Springer, s. 316–333
• Steinberg, Robert (1975), "On a theorem of Pittie", Topology , 14 (2): 173–177, doi : 10.1016/0040-9383(75)90025-7