Schubert polynom

I matematik är Schubert-polynom generaliseringar av Schur-polynom som representerar kohomologiklasser av Schubert-cykler i flaggvarianter . De introducerades av Lascoux & Schützenberger (1982) och är uppkallade efter Hermann Schubert .

Bakgrund

Lascoux (1995) beskrev Schubert-polynomens historia.

Schubert-polynomen ${\mathfrak {S}}_{w}$ är polynom i variablerna $x_{1},x_{2},\ldots$ beroende på ett element $w$ av den oändliga symmetriska gruppen $S_{\infty }$ av alla permutationer av $\mathbb {N}$ som fixerar alla utom ett ändligt antal element. De utgör en grund för polynomringen $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ i oändligt många variabler.

Kohomologin för flaggmanifolden ${\text{Fl}}(m)$ är $\mathbb {Z} [ x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}]/I,$ där $I$ är idealet som genereras av homogena symmetriska funktioner med positiv grad. Schubertpolynomet ${\mathfrak {S}}_{w}$ är det unika homogena polynomet av grad $\ell (w)$ som representerar Schubert-cykeln av $w$ i kohomologin för flaggmanifolden Fl $\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ för alla tillräckligt stora $m.$ ^{[ citat behövs ]}

Egenskaper

Om $w_{0}$ är permutationen av längsta längd i $S_{n}$ så ${\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}$

$\partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}$ om $w(i)>w(i+1)$ , där $s_{i}$ är transponeringen $(i,i+ 1)$ och där $\partial _{i}$ är den delade differensoperatorn som tar $P$ till $(P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})$ .

Schubert-polynom kan beräknas rekursivt från dessa två egenskaper. Detta innebär i synnerhet att ${\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w ^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}$ .

Andra fastigheter är

${\mathfrak {S}}_{id}=1$

Om $s_{i}$ är transpositionen $(i,i +1)$ , sedan ${\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}$ .

Om $w(i)<w(i+1)$ för all $i\neq r$ , då ${\mathfrak {S}}_{w}$ är Schur-polynomet $s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})$ där $\lambda$ är partitionen $(w(r)-r,\ldots ,w(2) -2,w(1)-1)$ . I synnerhet är alla Schur-polynom (av ett ändligt antal variabler) Schubert-polynom.

Schubertpolynom har positiva koefficienter. En gissningsregel för deras koefficienter lades fram av Richard P. Stanley och bevisades i två artiklar, en av Sergey Fomin och Stanley och en av Sara Billey , William Jockusch och Stanley.

Schubert-polynomen kan ses som en genererande funktion över vissa kombinatoriska objekt som kallas pipe dreams eller rc-grafer . Dessa är i bijektion med reducerade Kogan-ansikten (introducerade i Mikhail Kogans doktorsavhandling) som är speciella ansikten av Gelfand-Tsetlin-polytopen.

Schubert polynom kan också skrivas som en viktad summa av objekt som kallas bumpless pipe dreams .

Som ett exempel

{\mathfrak {S}}_{24531}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2 }x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.

Multiplikativa strukturkonstanter

Eftersom Schubert-polynomen bildar en $\mathbb {Z}$ -bas, finns det unika koefficienter $c_{\beta \gamma }^{\alpha }$ så att

{\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.

Dessa kan ses som en generalisering av Littlewood−Richardson-koefficienterna som beskrivs av Littlewood–Richardson-regeln . Av algebro-geometriska skäl ( Kleimans transversalitetssats från 1974) är dessa koefficienter icke-negativa heltal och det är ett enastående problem inom representationsteori och kombinatorik att ge en kombinatorisk regel för dessa tal.

Dubbla Schubert-polynom

Dubbla Schubert-polynom ${\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots, y_{1},y_{2},\ldots )$ är polynom i två oändliga uppsättningar av variabler, parametriserade av ett element w i den oändliga symmetriska gruppen, som blir de vanliga Schubert-polynomen när alla variabler $y_ {i}$ är $0$ .

Det dubbla Schubert-polynomet ${\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )$ kännetecknas av egenskaperna

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_$ när $w$ är permutationen på $1,\ldots ,n$ av längsta längd.

$\partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}$ om $w(i)>w(i+1)$ .

De dubbla Schubert-polynomen kan också definieras som

{\mathfrak {S} }_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ och }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{ \mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y)

.

Quantum Schubert polynom

Fomin, Gelfand & Postnikov (1997) introducerade Schubert-kvantpolynom, som har samma relation till den (små) kvantkohomologin av flaggmanifolder som vanliga Schubert-polynom har till den vanliga kohomologin.

Universella Schubert-polynom

Fulton (1999) introducerade universella Schubert-polynom, som generaliserar klassiska och kvant- Schubert-polynom. Han beskrev också universella dubbla Schubert-polynom som generaliserade dubbla Schubert-polynom.

Se även

Stanley symmetrisk funktion
Kostant polynom
Monks formel ger produkten av ett linjärt Schubert-polynom och ett Schubert-polynom.
noll-Coxeter algebra

Bernstein, IN ; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), "Schubert-celler och utrymmenas kohomologi G/P", Russian Math. Surveys , 28 (3): 1–26, Bibcode : 1973RuMaS..28....1B , doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557
Fomin, Sergey ; Gelfand, Sergei; ) , "Quantum Schubert polynomials", Journal of the American Mathematical Society , 10 (3): 565–596, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3 , ISSN 0894-8MR 931 ,
Fulton, William (1992), "Flaggor, Schubert polynomials, degeneracy loci, and determinantal formulas", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi : 10.1215/S0012-7094-92-06516-001 , ISSN -7094 , MR 1154177
Fulton, William (1997), Unga tablåer , London Mathematical Society Student Texts, vol. 35, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56144-0 , MR 1464693
Fulton, William (1999), "Universal Schubert polynomials", Duke Mathematical Journal , 96 (3): 575–594, arXiv : alg -geom/9702012 , doi : 10.1215 /S0012-7094-99-0921 IS -7094 , MR 1671215 , S2CID 10546579
Lascoux, Alain (1995), "Polynômes de Schubert: une approche historique", Diskret matematik , 139 (1): 303–317, doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D , ISSN 36984 -D , 8 - MR 5012 5012
Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), "Polynômes de Schubert", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447–450, ISSN 0249-6291 , MR 0660739
Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1985), "Schubert polynomials and the Littlewood-Richardson rule", Letters in Mathematical Physics. A Journal for the Rapid Dissemination of Short Contributions in the Field of Mathematical Physics , 10 (2): 111–124, Bibcode : 1985LMaPh..10..111L , doi : 10.1007/BF00398147 , ISSN 0171 , 5ID 0177 , 5ID 0177 , 5ID 0177 119654656
Macdonald, IG (1991), "Schubert polynomials" , i Keedwell, AD (red.), Surveys in combinatorics, 1991 (Guildford, 1991) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 166, Cambridge University Press , s. 73–99, ISBN 978-0-521-40766-3 , MR 1161461
Macdonald, IG (1991b), Notes on Schubert polynomials , Publications du Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, vol. 6, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec a Montréal, ISBN 978-2-89276-086-6
Manivel, Laurent (2001) [1998], Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci , SMF/AMS Texts and Monographs, vol. 6, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2154-1 , MR 1852463
Sottile, Frank (2001) [1994], "Schubert polynomials" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press