Representationsring

Inom matematiken , särskilt inom området för algebra som kallas representationsteori , är representationsringen (eller den gröna ringen efter JA Green ) av en grupp en ring som bildas av alla (isomorfismklasser av) de finita dimensionella linjära representationerna av gruppen . Element i representationsringen kallas ibland virtuella representationer. För en given grupp kommer ringen att bero på basfältet för representationerna. Fallet med komplexa koefficienter är det mest utvecklade, men fallet med algebraiskt slutna fält med karakteristiska p där Sylow p -undergrupperna är cykliska är också teoretiskt tillgängligt.

Formell definition

Givet en grupp G och ett fält F , är elementen i dess representationsring RF ( G ) de formella skillnaderna mellan isomorfismklasser av finita dimensionella linjära F -representationer _av G. För ringstrukturen ges addition av den direkta summan av representationer och multiplikation med deras tensorprodukt över F . När F utelämnas från notationen, som i R ( G ), antas F implicit vara fältet för komplexa tal.

är representationsringen av G Grothendieck-ringen i kategorin änddimensionella representationer av G .

Exempel

• För de komplexa representationerna av den cykliska gruppen av ordningen n är representationsringen RC ( C _n ) isomorf till Z [ X ]/( X ⁿ − 1), där X motsvarar den komplexa representationen som skickar en generator av gruppen _till en primitiv n :e roten till enhet.
• Mer allmänt kan den komplexa representationsringen för en finit abelisk grupp identifieras med gruppringen för teckengruppen .
• För de rationella representationerna av den cykliska gruppen av ordning 3 är representationsringen R _Q (C ₃ ) isomorf till Z [ X ]/( X ² − X − 2), där X motsvarar den irreducerbara rationella representationen av dimension 2.
• För de modulära representationerna av den cykliska gruppen av ordning 3 över ett fält F med karakteristik 3, är representationsringen RF ( C ₃ ) isomorf till Z [ X , Y ]/( X ² − Y − 1, _XY − 2 Y Y2-3Y ) . ^_ _ _
• Den kontinuerliga representationsringen R (S ¹ ) för cirkelgruppen är isomorf till Z [ X , X ⁻¹ ]. Ringen av reella representationer är subringen av R ( G ) av element fixerade av involutionen på R ( G ) som ges av X ↦ X ⁻¹ .
• Ringen R _C ( S ₃ ) för den symmetriska gruppen på tre punkter är isomorf till Z [ X , Y ]/( XY − Y , X ² − 1, Y ² − X − Y − 1), där X är 1 -dimensionell alternerande representation och Y den 2-dimensionella irreducerbara representationen av S3 _.

Tecken

Vilken representation som helst definierar ett tecken χ: G → C . En sådan funktion är konstant på konjugationsklasser av G , en så kallad klassfunktion ; beteckna ringen av klassfunktioner med C ( G ). Om G är finit är homomorfismen R ( G ) → C ( G ) injektiv, så att R ( G ) kan identifieras med en subring av C ( G ). För fält F vars egenskap delar ordningen för gruppen G , är homomorfismen från RF ( G ) → C ( G ) definierad av Brauer-tecken inte längre injektiv _.

För en kompakt sammankopplad grupp är R ( G ) isomorf till subringen av R ( T ) (där T är en maximal torus) bestående av de klassfunktioner som är invarianta under inverkan av Weyl-gruppen (Atiyah och Hirzebruch, 1961). För den allmänna kompakta Lie-gruppen, se Segal (1968).

λ-ring och Adams verksamhet

Givet en representation av G och ett naturligt tal n , kan vi bilda representationens n -te yttre potens , som återigen är en representation av G . Detta inducerar en operation λ ⁿ : R ( G ) → R ( G ). Med dessa operationer blir R ( G ) en λ-ring .

Adams -operationerna på representationsringen R ( G ) är kartor Ψ ^k som kännetecknas av deras effekt på tecknen χ:

$\Psi ^{k}\chi (g)=\chi (g^{k})\ .$

Operationerna Ψ ^k är ringhomomorfismer av R ( G ) till sig själv och på representationer ρ av dimension d

$\Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )\$

där Λ ⁱ ρ är de yttre potenserna av ρ och N _k är den k -:te potenssumman uttryckt som en funktion av de d elementära symmetriska funktionerna för d variabler.

•     Atiyah, Michael F. ; Hirzebruch, Friedrich (1961), "Vektorbuntar och homogena utrymmen", Proc. Sympos. Ren matte. , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, III : 7–38, doi : 10.1090 /pspum/003/0139181 , ISBN 9780821814031 , MR 0139181 01 081 01 081 01 , Z.
•      Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups , Graduate Texts in Mathematics , vol. 98, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag , ISBN 0-387-13678-9 , MR 1410059 , OCLC 11210736 , Zbl 0581.22009
•     Segal, Graeme (1968), "The representation ring of a compact Lie group" , Publ . Matematik. IHES , 34 : 113–128, doi : 10.1007/BF02684592 , MR 0248277 , S2CID 55847918 , Zbl 0209.06203 .
•    Snaith, VP (1994), Explicit Brauer Induction: With Applications to Algebra and Number Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 40, Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8 , Zbl 0991.20005