Schubert kalkyl

Inom matematik är Schubert-kalkylen en gren av algebraisk geometri som introducerades på artonhundratalet av Hermann Schubert , för att lösa olika räkneproblem av projektiv geometri (en del av numerativ geometri ). Det var en föregångare till flera mer moderna teorier, till exempel karakteristiska klasser , och i synnerhet dess algoritmiska aspekter är fortfarande av aktuellt intresse. Frasen "Schubert calculus" används ibland för att betyda den uppräkningsgeometrin för linjära delrum, ungefär lika med att beskriva den kohomologiringen av Grassmannians, och ibland används för att betyda den mer allmänna uppräkningsgeometrin för icke-linjära varianter. Ännu mer allmänt förstås "Schubert-kalkyl" ofta för att omfatta studiet av analoga frågor i generaliserade kohomologiteorier .

Objekten som introducerades av Schubert är Schubert-cellerna , som är lokalt slutna uppsättningar i en Grassmannian definierad av villkoren för förekomsten av ett linjärt delrum i projektivt utrymme med en given flagga . För detaljer se Schubert sort .

Skärningsteorin för dessa celler, som kan ses som produktstrukturen i kohomologiringen av Grassmannian av tillhörande kohomologiklasser , tillåter i princip att förutsäga de fall där korsningar av celler resulterar i en ändlig uppsättning punkter, som potentiellt är konkreta svar på uppräknade frågor. Ett stödjande teoretiskt resultat är att Schubert-cellerna (eller snarare deras klasser) spänner över hela kohomologiringen.

I detaljerade beräkningar kommer de kombinatoriska aspekterna in så snart cellerna måste indexeras. Lyftad från Grassmannian , som är ett homogent utrymme , till den allmänna linjära gruppen som verkar på det, är liknande frågor involverade i Bruhat-nedbrytningen och klassificeringen av paraboliska undergrupper (efter blockmatris ).

Att sätta Schuberts system på en rigorös grund är Hilberts femtonde problem .

Konstruktion

Schubert-kalkyl kan konstrueras med hjälp av Chow-ringen av Grassmannian där genereringscyklerna representeras av geometriskt meningsfulla data. Beteckna $G(k,V)$ som Grassmannian för $k$ -plan i ett fast $n$ -dimensionellt vektorrum $V$ , och $A^{*}(G(k,V))$ dess Chow-ring; observera att ibland betecknas Grassmannan som $G(k,n)$ om vektorutrymmet inte är explicit angivet. Associerad till en godtycklig komplett flagga ${\mathcal {V}}$

$0\subset V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

och en minskande $k$ -tuppel av heltal $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})$ där

$nk\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0$

det finns Schubert-cykler (som kallas Schubert-celler när man överväger cellulär homologi istället för Chow-ringen) $\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal { V}})\delmängd G(k,V)$ definierad som

$Sigma _{\mathbf {a } }({\mathcal {V}})=\{\Lambda \in G(k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap \Lambda )\geq i{ \text{ för alla }}i\geq 1\}}$

Eftersom klassen $[\Sigma _{\mathbb {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{ *}(G(k,V))$ beror inte på den fullständiga flaggan, klassen kan skrivas som

$\sigma _{\mathbb {a} }:=[\Sigma _{\mathbb {a} }]\in A^ {*}(G(k,V))$

som kallas Schubert-klasser . Det kan visas att dessa klasser genererar Chow-ringen, och den tillhörande skärningsteorin kallas Schubert-kalkyl . Notera givet en sekvens $\mathbb {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)$ Schubert-klassen $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ betecknas vanligtvis som bara $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}$ . Dessutom kallas Schubert-klasserna som ges av ett enda heltal, ${\displaystyle \sigma _{a_{1}}} ,$ specialklasser . Med hjälp av Giambeli-formeln nedan kan alla Schubert-klasser genereras från dessa specialklasser.

Förklaring

För att förklara definitionen, överväg ett generiskt $k$ -plan $\Lambda \subset V$ : det kommer bara att ha en nollskärning med $V_{j}$ för $j\leq nk$ , medan $\dim(V_{j}\cap \Lambda )=i$ för $j=n-k+i\geq nk$ . Till exempel, i ${\displaystyle G(4,9)} är$ ett $4$ -plan $\Lambda$ lösningsutrymmet för ett system av fem oberoende homogena linjära ekvationer . Dessa ekvationer kommer generiskt att sträcka sig när de är begränsade till ett delrum $V_{j}$ med $j=\dim V_{j}\leq 5=9- 4$ , i vilket fall lösningsutrymmet (skärningspunkten mellan $V_{j}$ och $\Lambda$ ) kommer endast att bestå av nollvektorn. Men när ${\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(\Lambda )>n=9},$ sedan $V_ {j}$ och $\Lambda$ kommer nödvändigtvis att ha en skärningspunkt som inte är noll. Till exempel är den förväntade dimensionen för skärningspunkten mellan $V_{6}$ och $\Lambda$ 1 $1$ , skärningspunkten mellan $displaystyle V_{7}}$ och $\Lambda$ har förväntad dimension $2$ , och så vidare.

Definitionen av en Schubert-cykel säger att det första värdet på $j$ med $\dim(V_{j}\cap \Lambda )\geq i$ är generiskt mindre än det förväntade värdet $n-k+i$ med parametern $a_{i}$ . K $k$ -planen $\Lambda \subset V$ som ges av dessa begränsningar definierar då speciella undervarianter av $\displaystyle G(k,n)}$ .

Egenskaper

Inkludering

Det finns en partiell ordning på alla $k$ -tupler där $\mathbb {a} \geq \mathbb {b}$ om $a_{i}\geq b_{i}$ för varje $i$ . Detta ger införandet av Schubert-cykler

$\Sigma _{\mathbb {a} }\subset \Sigma _{\mathbb {b} }\iff a\geq b$

att visa en ökning av indexen motsvarar en ännu större specialisering av subvarieteter.

Kodimensionsformel

En Schubert-cykel $\Sigma _{\mathbb {a} }$ har en kodimension

$\sum a_{i}$

vilket är stabilt under inneslutningar av Grassmannians. Det vill säga inkluderingen

$i:G(k,n)\hookrightarrow G(k+1,n+1)$

ges genom att lägga till det extra baselementet $e_{n+1}$ till varje $k$ -plan, vilket ger ett $(k+1)$ -plan , har egendomen

$i^{*}(\sigma _{\mathbb {a} })=\sigma _{\mathbb {a} }$

Också inkluderingen

$j:G(k,n)\hookrightarrow G(k,n+1)$

ges genom inkludering av $k$ -planet har samma pullback-egenskap.

Korsningsprodukt

Skärningsprodukten etablerades först med Pieri- och Giambelli-formlerna.

Pieri formel

I specialfallet ${\displaystyle \mathbb {b} =(b,0,\ldots ,0)} ,$ finns det en explicit formel för produkten av $\sigma _{b}$ med en godtycklig Schubert-klass $\sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}$ given av

$\sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\summa _{\begin{ matris}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matris}}\sigma _{\mathbb {c} }$

Obs $|\mathbb {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}$ . Denna formel kallas Pieri-formeln och kan användas för att bestämma skärningsprodukten för två Schubert-klasser i kombination med Giambelli-formeln. Till exempel

$\sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2 ,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}$

och

$\sigma _{2}\cdot sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+ \sigma _{6,3}$

Giambelli formel

Schubert-klasser med tupler med längd två eller fler kan beskrivas som en determinantekvation med klasserna av endast en tupel. Giambellis formel läses som ekvationen

$\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1} &\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2 }}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_ {3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{ a_{k}}\end{vmatrix}}$

ges av determinanten av en $(k,k)$ -matris. Till exempel,

$\sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}& \sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}$

och

$\sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\ sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}$

Relation med Chern-klasser

Det finns en enkel beskrivning av kohomologiringen, eller Chow-ringen, hos Grassmannian med användning av Chern-klasserna av två naturliga vektorbuntar över grassmannian $G(k,n)$ . Det finns en sekvens av vektorbuntar

$0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0$

där ${\underline {V}}$ är den triviala vektorbunten av rang $n$ , fibern för $T$ över $\ Lambda \in G(k,n)$ är delutrymmet $\Lambda \subset V$ , och $Q$ är kvotvektorbunten (som existerar eftersom rangordningen är konstant på var och en av fibrer). Chern-klasserna för dessa två associerade buntar är

$c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1,\ldots ,1) }$

där $(1,\ldots ,1)$ är en $i$ -tuppel och

$c_{i}(Q)=\sigma _{i}$

Den tautologiska sekvensen ger sedan presentationen av Chow-ringen som

$A^{*}(G(k,n))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T) ,c_{1}(Q),\ldots ,c_{nk}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}$

G(2,4)

Ett av de klassiska exemplen som analyserats är det Grassmanniska $G(2,4)$ eftersom det parametriserar linjer i $\mathbb {P} ^{3}$ . Schubert-kalkyl kan användas för att hitta antalet linjer på en kubisk yta .

Chow ring

Chow-ringen har presentationen

${\ displaystyle A^{*}(G(2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{ ((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

och som en graderad Abelisk grupp ges den av

${\begin{aligned}A^{0}(G (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^ {4}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6} (G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(G(2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \ sigma _{2,2}\\\end{aligned}}$

Linjer på en kubisk yta

Denna Chow-ring kan användas för att beräkna antalet linjer på en kubisk yta. Återkalla en linje i $\mathbb {P} ^{3}$ ger en dimension två delrum av $\mathbb {A} ^{4}$ , därav $\mathbb {G} (1,3)\cong G(2,4)$ . Likaså kan ekvationen för en linje ges som en sektion av $\Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})$ . Eftersom en kubisk yta $X$ ges som ett generiskt homogent kubiskt polynom, ges detta som ett generiskt avsnitt $s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))$ . Sedan är en linje $L\subset \mathbb {P} ^{3}$ en undervarietet av $X$ om och endast om sektionen försvinner på $[L]\in \mathbb {G} (1,3)$ . Därför Euler-klassen av ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ integreras över $\mathbb { G} (1,3)$ för att få antalet punkter där den generiska sektionen försvinner på $\mathbb {G} (1,3)$ . För att få Euler-klassen måste den totala Chern-klassen av $T^{*}$ beräknas, vilket ges som

$c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}$

Sedan läses uppdelningsformeln som den formella ekvationen

${\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}}$

där $c({\mathcal {L}})=1+\alpha$ och $c({\mathcal {M}}) =1+\beta$ för formella linjebuntar ${\mathcal {L}},{\mathcal {M}}$ . Delningsekvationen ger sambanden

$\sigma _{1}=\alpha +\beta$ och $\sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta$ .

Eftersom ${\text{Sym}}^{3}(T^{*})$ läsas som den direkta summan av formella vektorbuntar

${\text{Sym}}^{3}(T^{*} )={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L} }\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}$

vars totala Chern-klass är

$c({\text{Sym}} ^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta )$

därav

${\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))& =3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\ end{aligned}}$