Bruhat order

Inom matematiken är Bruhat-ordningen (även kallad stark ordning eller stark Bruhat-ordning eller Chevalley-ordning eller Bruhat-Chevalley-ordning eller Chevalley-Bruhat-ordning ) en partiell ordning på elementen i en Coxeter-grupp , som motsvarar inklusionsordningen på Schubert-sorter .

Historia

Bruhat-ordningen på Schubert-varianterna av en flaggmanifold eller en Grassmannian studerades först av Ehresmann (1934) , och analogen för mer generella semisimpla algebraiska grupper studerades av Chevalley (1958) . Verma (1968) startade den kombinatoriska studien av Bruhat-ordningen på Weyl-gruppen och introducerade namnet "Bruhat-ordningen" på grund av relationen till Bruhat-nedbrytningen som introducerades av François Bruhat .

De vänstra och högra svaga Bruhat-ordningarna studerades av Björner ( 1984 ).

Definition

Om ( W , S ) är ett Coxeter-system med generatorer S , så är Bruhat-ordningen en delordning på gruppen W. Kom ihåg att ett reducerat ord för ett element w av W är ett minimalt längduttryck av w som en produkt av element av S , och längden ℓ ( w ) av w är längden av ett reducerat ord.

• Den (starka) Bruhat-ordningen definieras av u ≤ v om någon delsträng av något (eller varje) reducerat ord för v är ett reducerat ord för u . (Observera att en delsträng här inte nödvändigtvis är en på varandra följande delsträng.)

•   Den svaga vänsterordningen (Bruhat) definieras av u ≤ _L v om någon sista delsträng av något reducerat ord för v är ett reducerat ord för u .
•   Den svaga högra (Bruhat) ordningen definieras av u ≤ _R v om någon initial delsträng av något reducerat ord för v är ett reducerat ord för u .

För mer om de svaga ordningsföljderna, se artikeln svag ordning av permutationer .

Bruhat graf

Bruhat-grafen är en riktad graf relaterad till den (starka) Bruhat-ordningen. Spetsmängden är uppsättningen av element i Coxeter-gruppen och kantuppsättningen består av riktade kanter ( u , v ) närhelst u = tv för viss reflektion t och ℓ ( u ) < ℓ ( v ). Man kan se grafen som en kantmärkt riktad graf med kantetiketter som kommer från uppsättningen av reflektioner. (Man kan också definiera Bruhat-grafen med multiplikation till höger; som grafer är de resulterande objekten isomorfa, men kantmärkningarna är olika.)

Den starka Bruhat-ordningen på den symmetriska gruppen (permutationer) har Möbius-funktion given av $\mu (\pi ,\sigma )=( -1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}$ , och därför är denna poset Eulerian, vilket betyder att dess Möbius-funktion produceras av rankfunktionen på poseten.

Se även

• Kazhdan–Lusztig polynom

•    Björner, Anders (1984), "Orderings of Coxeter groups" , i Greene, Curtis (red.), Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983) , Contemp. Math., vol. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 175–195, ISBN 978-0-8218-5029-9 , MR 0777701
•    Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 231, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27596-7 , ISBN 978-3-540-44238-7 , MR 2133266
•    Chevalley, C. (1958), "Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B", i Haboush, William J.; Parshall, Brian J. (red.), Algebraiska grupper och deras generaliseringar: klassiska metoder (University Park, PA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 56, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 1–23, ISBN 978-0-8218-1540-3 , MR 1278698
•     Ehresmann, Charles (1934), "Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes" , Annals of Mathematics , Second Series (på franska), Annals of Mathematics, 35 (2): 396–443, doi : 10.2307/19684040 , ISSN- 0003- 0003 486X , JFM 60.1223.05 , JSTOR 1968440
•    Verma, Daya-Nand (1968), "Struktur av vissa inducerade representationer av komplexa semisimple Lie algebras", Bulletin of the American Mathematical Society, 74 : 160–166, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921, ISSN-4 , ISSN 0002-9904 , MR 0218417