Ekvivariant algebraisk K-teori

Inom matematik är den ekvivarianta algebraiska K-teorin en algebraisk K-teori som är associerad med kategorin $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ av ekvivarianta koherenta skivor på ett algebraiskt schema X med verkan av en linjär algebraisk grupp G , via Quillens Q-konstruktion ; alltså per definition,

$K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatörsnamn {Coh} ^{G}(X)).$

Speciellt $K_{0}^{G}(C)$ är Grothendieck-gruppen av $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ . Teorin utvecklades av RW Thomason på 1980-talet. Specifikt bevisade han ekvivarianta analoger av fundamentala satser som lokaliseringsteoremet.

På motsvarande sätt kan $K_{i}^{G}(X)$ definieras som $K_{i}$ för kategorin koherenta skivor på kvotstapeln $[X/G]$ . (Därför är den ekvivarianta K-teorin ett specifikt fall av K-teorin för en stack.)

En version av Lefschetz fixpunktssats gäller i inställningen av ekvivariant (algebraisk) K-teori.

Grundläggande teorem

Låt X vara ett ekvivariant algebraiskt schema.

Lokaliseringsteorem — Givet en sluten nedsänkning $Z\hookrightarrow X$ av ekvivarianta algebraiska scheman och en öppen nedsänkning $ZU\hookrightarrow X$ , finns det en lång exakt sekvens av grupper

$\cdots \to K_{i}^{G}(Z )\till K_{i}^{G}(X)\till K_{i}^{G}(U)\till K_{i-1}^{G}(Z)\to \cdots$

Exempel

Ett av de grundläggande exemplen på ekvivarianta K-teorigrupper är de ekvivarianta K-grupperna av $G$ -ekvivarianta koherenta skivor på en punkt, så $K_{i}^{G} (*)$ . Eftersom ${\text{Coh}}^{G}(*)$ är ekvivalent med kategorin ${\text{Rep}}(G)$ av finite- dimensionsrepresentationer av $G$ . Sedan är Grothendieck-gruppen av ${\text{Rep}}(G)$ , betecknad $R(G)}$ displaystyle $K_{0 }^{G}(*)$ .

Torus ring

Givet en algebraisk torus ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {G} _{m}^{k}} ges$ en finitdimensionell representation ${\displaystyle V} av en direkt summa$ av $1$ -dimensionella $\mathbb {T}$ -moduler som kallas vikterna för $V$ . Det finns en explicit isomorfism mellan $K_{\mathbb {T} }$ och $\mathbb {Z} [t_{1},\ldots ,t_{ k}]$ ges genom att skicka $[V]$ till dess tillhörande tecken.

Se även

• Topologisk K-teori , den topologiska ekvivarianta K-teorin

• N. Chris och V. Ginzburg, Representation Theory and Complex Geometry, Birkhäuser, 1997.
• Baum, P., Fulton, W., Quart, G.: Lefschetz Riemann Roch för singulära sorter. Acta. Matematik. 143, 193–211 (1979)
• Thomason, RW: Algebraisk K-teori för gruppschemaåtgärder. I: Browder, W. (red.) Algebraisk topologi och algebraisk K-teori. (Ann. Math. Stud., vol. 113, s. 539 563) Princeton: Princeton University Press 1987
• Thomason, RW: Lefschetz-Riemann-Roch-satsen och sammanhängande spårformel. Uppfinna. Matematik. 85, 515–543 (1986)
• Thomason, RW, Trobaugh, T.: Högre algebraisk K-teori för scheman och av härledda kategorier. I: Cartier, P., Illusie, L., Katz, NM, Laumon, G., Manin, Y., Ribet, KA (red.) The Grothendieck Festschrift, vol. III. (Prog. Math. vol. 88, s. 247 435) Boston Basel Berlin: Birkhfiuser 1990
• Thomason, RW, Une formule de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique, Duke Math. J. 68 (1992), 447-462.

Vidare läsning

• Dan Edidin, Riemann–Roch för Deligne–Mumford-stackarna, 2012