Hilberts tolfte problem

Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel'schen Gleichungen mit Quadratwurzeln rationaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel'erch Gleichungen die ganzzahligen durch Gleichungen.

Kronecker i ett brev till Dedekind 1880 återgiven i volym V av hans samlade verk, sidan 455

Kroneckers Jugendtraum eller Hilberts tolfte problem , av de 23 matematiska Hilbertproblemen , är förlängningen av Kronecker–Webers sats om abelska förlängningar av de rationella talen , till vilket bastalsfält som helst . Det vill säga, det efterfrågar analoger till enhetens rötter , som komplexa tal som är särskilda värden för den exponentiella funktionen ; kravet är att sådana siffror ska generera en hel familj av ytterligare nummerfält som är analoger till de cyklotomiska fälten och deras underfält.

Den klassiska teorin om komplex multiplikation , nu ofta känd som Kronecker Jugendtraum , gör detta för fallet med alla imaginära kvadratiska fält , genom att använda modulära funktioner och elliptiska funktioner som väljs med ett visst periodgitter relaterat till fältet i fråga. Goro Shimura utökade detta till CM-fält . I det speciella fallet med helt verkliga fält gavs en lösning av Dasgupta och Kakde. Detta ger en effektiv metod för att konstruera den maximala abelska förlängningen av ett helt verkligt fält. Metoden vilar på p-adisk integration och lösningen den ger för helt verkliga fält är till sin karaktär annorlunda än vad Hilbert hade i åtanke i sin ursprungliga formulering. En lösning i det mer speciella fallet med helt verkliga kvadratiska fält, som också vilar på p-adiska metoder, gavs av Darmon, Pozzi och Vonk.

Det allmänna fallet med Hilberts 12:e problem är fortfarande öppet från och med 2022.

Leopold Kronecker beskrev den komplexa multiplikationsfrågan som sin liebster Jugendtraum , eller "hans käraste dröm om sin ungdom".

Beskrivning av problemet

Det grundläggande problemet med algebraisk talteori är att beskriva fälten för algebraiska tal . Galois arbete gjorde det klart att fältförlängningar kontrolleras av vissa grupper , Galois- grupperna . Den enklaste situationen, som redan är på gränsen till vad som är välförstått, är när gruppen i fråga är abelisk . Alla kvadratiska förlängningar, erhållna genom att angränsa rötterna till ett kvadratiskt polynom, är abeliska, och deras studie påbörjades av Gauss . En annan typ av abelsk förlängning av fältet Q för rationella tal ges genom att angränsa de n :te rötterna av enhet, vilket resulterar i de cyklotomiska fälten . Redan Gauss hade visat att i själva verket finns varje kvadratiskt fält i ett större cyklotomiskt fält. Kronecker -Weber-satsen visar att varje finit abelsk förlängning av Q finns i ett cyklotomiskt fält. Kroneckers (och Hilberts) fråga tar upp situationen för ett mer allmänt algebraiskt talfält K : vilka är de algebraiska talen som krävs för att konstruera alla abelska förlängningar av K ? Det fullständiga svaret på denna fråga har utarbetats fullständigt endast när K är ett imaginärt kvadratiskt fält eller dess generalisering, ett CM-fält .

Hilberts ursprungliga uttalande av hans 12:e problem är ganska missvisande: han verkar antyda att de abelska förlängningarna av imaginära kvadratiska fält genereras av speciella värden för elliptiska modulära funktioner, vilket inte är korrekt. (Det är svårt att säga exakt vad Hilbert sa, ett problem är att han kan ha använt termen "elliptisk funktion" för att betyda både den elliptiska funktionen ℘ och den elliptiska modulfunktionen j .) Först är det också nödvändigt att använda rötter av enhet, även om Hilbert underförstått kan ha menat att inkludera dessa. Mer allvarligt, medan värden för elliptiska modulära funktioner genererar Hilbert-klassfältet , måste man för mer allmänna abelska förlängningar också använda värden för elliptiska funktioner. Till exempel, den abelska förlängningen genereras inte av singulära moduler och enhetsrötter.

Ett särskilt tilltalande sätt att ange Kronecker-Webers sats är att säga att den maximala abelska förlängningen av Q kan erhållas genom att angränsa de speciella värdena exp(2 π i / n ) för exponentialfunktionen . På liknande sätt visar teorin om komplex multiplikation att den maximala abelska förlängningen av Q ( τ ), där τ är en imaginär kvadratisk irrationalitet, kan erhållas genom att angränsa de speciella värdena för ℘( τ , z ) och j ( τ ) för modulära funktioner j och elliptiska funktioner ℘, och enhetsrötter, där τ är i det imaginära kvadratiska fältet och z representerar en torsionspunkt på motsvarande elliptiska kurva. En tolkning av Hilberts tolfte problem kräver att tillhandahålla en lämplig analog av exponentiella, elliptiska eller modulära funktioner, vars speciella värden skulle generera den maximala abelska förlängningen Kab av ett allmänt talfält K . I denna form förblir det olöst. En beskrivning av fältet Kab erhölls i klassens fältteori , utvecklad av Hilbert själv, Emil Artin och andra under första hälften av 1900-talet. Konstruktionen av Kab i klassfältteori innebär dock att man först konstruerar större icke-abelska förlängningar med hjälp av Kummer-teorin , och sedan skära ner till de abelska förlängningarna, så löser inte riktigt Hilberts problem som kräver en mer direkt konstruktion av de abelska förlängningarna.

Modern utveckling

Utvecklingen sedan omkring 1960 har säkert bidragit. Dessförinnan använde Hecke ( 1912 ) i sin avhandling Hilberts modulära former för att studera abelska förlängningar av verkliga kvadratiska fält . Komplex multiplikation av abelska sorter var ett område som öppnades av Shimuras och Taniyamas arbete . Detta ger upphov till abelska förlängningar av CM-fält i allmänhet. Frågan om vilka tillägg som kan hittas är frågan om Tate-modulerna av sådana varianter, som Galois-representationer . Eftersom detta är det mest tillgängliga fallet av ℓ-adisk kohomologi , har dessa representationer studerats på djupet.

Robert Langlands hävdade 1973 att den moderna versionen av Jugendtraumet skulle ta itu med Hasse-Weil zeta-funktioner hos Shimura-varieteterna . Även om han föreställde sig ett grandiost program som skulle ta ämnet mycket längre, kvarstår mer än trettio år senare allvarliga tvivel angående dess betydelse för den fråga som Hilbert ställde.

En separat utveckling var Starks gissning ( Harold Stark ), som däremot direkt handlade om frågan om att hitta intressanta, speciella enheter i talfält. Detta har sett en stor gissningsvis utveckling för L-funktioner och kan också ge konkreta, numeriska resultat. En p-adic-lösning för helt verkliga fält tillkännagavs av Dasgupta och Kakde, och för det speciella fallet med riktiga kvadratiska fält av Darmon, Pozzi och Vonk, i mars 2021.

Anteckningar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbert%27s_twelfth_problem&oldid=1140600592 "