Lubin–Tates formell grupplag

Inom matematik är Lubin-Tates formella grupplag en formell grupplag som introducerades av Lubin och Tate ( 1965 ) för att isolera den lokala fältdelen av den klassiska teorin om komplex multiplikation av elliptiska funktioner . I synnerhet kan den användas för att konstruera de totalt förgrenade abelska förlängningarna av ett lokalt fält. Den gör detta genom att överväga den formella gruppens (formella) endomorfismer , efterlikna det sätt på vilket elliptiska kurvor med extra endomorfismer används för att ge abelska förlängningar av globala fält .

Definition av formella grupper

Låt Z _p vara ringen av p -adiska heltal. Lubin –Tates formella grupplag är den unika (1-dimensionella) formella grupplagen F så att e ( x ) = px + x ^p är en endomorfism av F , med andra ord

$e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\$

Mer generellt kan valet för e vara vilken effektserie som helst så att

e ( x ) = px + högre graders termer och

e ( x ) = x ^p mod p .

Alla sådana grupplagar, för olika val av att uppfylla dessa villkor, är strikt isomorfa. Vi väljer dessa villkor för att säkerställa att de reducerar modulo det maximala idealet till Frobenius och derivatan vid ursprunget är primelementet .

För varje element a i Z _p finns det en unik endomorfism f i Lubin-Tates formella grupplag så att f ( x ) = ax + högre graders termer. Detta ger en handling av ringen Z _p på Lubin-Tates formella grupplag.

Det finns en liknande konstruktion med Z _p ersatt av vilken komplett diskret värderingsring som helst med ändligt restklassfält , där p ersätts av ett val av enhetligare .

Exempel

Vi skisserar här en formell gruppmotsvarighet till Frobenius-elementet , som är av stor betydelse i klassfältteori , vilket genererar den maximala oframifierade förlängningen som bilden av reciprocitetskartan.

För det här exemplet behöver vi begreppet en endomorfism av formella grupper, vilket är en formell grupphomomorfism f där domänen är kodomänen. En formell grupphomomorfism från en formell grupp F till en formell grupp G är en potensserie över samma ring som de formella grupperna som har noll konstant term och är sådan att:

$f(F(X,Y))=G(f(X),f(Y))$

Betrakta en formell grupp F(X,Y) med koefficienter i ringen av heltal i ett lokalt fält (till exempel Z _p ). Att ta X och Y för att vara i det unika maximalidealet ger oss en konvergent potensserie och i detta fall definierar vi F(X,Y) = X + _F Y och vi har en äkta grupplag. Till exempel om F(X,Y)=X+Y , då är detta den vanliga additionen. Detta är isomorft till fallet med F(X,Y)=X+Y+XY , där vi har multiplikation på den uppsättning element som kan skrivas som 1 adderat till ett element i primidealet. I det senare fallet f(S) = ( 1 + S ) ^p -1 en endomorfism av F och isomorfismen identifierar f med Frobenius-elementet.

Genererar förgrenade tillägg

Lubin-Tate-teorin är viktig i explicit lokal klassfältteori . Den oförgrenade delen av en abelisk förlängning är lätt att konstruera, Lubin-Tate finner sitt värde i att producera den förgrenade delen. Detta fungerar genom att definiera en familj av moduler (indexerade av de naturliga talen) över ringen av heltal som består av vad som kan betraktas som rötter till potensserien upprepade gånger sammansatt med sig själv. Sammansättningen av alla fält som bildas genom att ansluta sådana moduler till det ursprungliga fältet ger den förgrenade delen.

En Lubin-Tate-förlängning av ett lokalt fält K är en abelsk förlängning av K som erhålls genom att beakta p -delningspunkterna för en Lubin-Tate-grupp. Om g är ett Eisenstein-polynom , f ( t ) = t g ( t ) och F den formella Lubin-Tate-gruppen, låt θ _n beteckna en rot av gf ^{n -1} ( t )= g ( f ( f (⋯( f) ( t ))⋯))). Då K (θ _n ) en abelsk förlängning av K med Galois-gruppen isomorf till U /1+ pn där U är enhetsgruppen ^för ringen av heltal av K och p är det maximala idealet.

Samband med stabil homotopi teori

Lubin och Tate studerade deformationsteorin för sådana formella grupper. En senare tillämpning av teorin har varit inom området för stabil homotopi-teori , med konstruktionen av en speciell extraordinär kohomologiteori kopplad till konstruktionen för ett givet primtal . Som en del av det allmänna maskineriet för formella grupper upprättas en kohomologiteori med spektrum för den formella gruppen Lubin–Tate, som också går under namnen Morava E-teori eller avslutad Johnson–Wilson-teori .

Källor

•    de Shalit, Ehud (1987), Iwasawa teori om elliptiska kurvor med komplex multiplikation. p-adic L functions , Perspectives in Mathematics, vol. 3, Academic Press, ISBN 0-12-210255-X , Zbl 0674.12004
•     Iwasawa, Kenkichi (1986), Local class field theory , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2 , MR 0863740 , Zbl 0604.12014
•      Lubin, Jonathan ; Tate, John (1965), "Formell komplex multiplikation i lokala fält", Annals of Mathematics , Second Series, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307/1970622 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970622 0172 , bl 0128.26501
•     Lubin, Jonathan ; Tate, John (1966), "Formella moduler för enparameters formella Lie-grupper", Bulletin de la Société Mathématique de France , 94 : 49–59, doi : 10.24033/bsmf.1633 , ISSN 0037-9484 , Zbl 5 402 , 38 MR 5402 0156.04105
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraiska Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•    Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", i Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (red.), Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Academic Press, s. 128–161, MR 0220701 , Zbl 0153.07403

externa länkar

• Lurie, J. (2010), Lubin–Tate-teori (PDF)