Drinfeld modul

Inom matematik är en Drinfeld-modul (eller elliptisk modul ) ungefär en speciell typ av modul över en ring av funktioner på en kurva över ett ändligt fält , vilket generaliserar Carlitz-modulen . Löst sett ger de en funktionsfältsanalog till komplex multiplikationsteori . En shtuka (även kallad F-sheaf eller chtouca ) är en sorts generalisering av en Drinfeld-modul, som ungefär består av ett vektorknippe över en kurva, tillsammans med någon extra struktur som identifierar en "Frobenius-vridning" av bunten med en "modifiering" av det.

Drinfeld-moduler introducerades av Drinfeld ( 1974 ), som använde dem för att bevisa Langlands antaganden för GL ₂ av ett algebraiskt funktionsfält i vissa speciella fall. Han uppfann senare shtukas och använde shtukas av rang 2 för att bevisa de återstående fallen av Langlands gissningar för GL ₂ . Laurent Lafforgue bevisade Langlands gissningar för GL _n för ett funktionsfält genom att studera modulstapeln av shtukas av rang n .

"Shtuka" är ett ryskt ord штука som betyder "en enda kopia", som kommer från det tyska substantivet "Stück", som betyder "stycke, föremål eller enhet". På ryska används ordet "shtuka" också i slang för en sak med kända egenskaper, men som inte har något namn i en talares sinne.

Drinfeld-moduler

Ringen av additiva polynom

Vi låter $L$ vara ett fält med egenskap $p>0$ . Ringen $L\{\tau \}$ definieras som ringen av icke-kommutativa (eller vridna) polynom $a_{0}+ a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots$ över $L$ , med multiplikationen ges av

\tau a=a^{p}\tau ,\quad a\in L.

Elementet $\tau$ kan ses som ett Frobenius-element : i själva verket är $L$ en vänstermodul över $L\{\tau \}$ , med element av $L$ som fungerar som multiplikation och $\tau$ som fungerar som Frobenius-endomorfismen av $L$ . Ringen $L\{\tau \}$ kan också ses som ringen av alla (absolut) additiva polynom

a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{ 2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,

i $L[x]$ , där ett polynom $f$ kallas additiv om $f(x+ y)=f(x)+f(y)$ (som element av $L[x,y]$ ). Ringen av additiva polynom genereras som en algebra över $L$ av polynomet $\tau =x^{p}$ . Multiplikationen i ringen av additiva polynom ges av sammansättningen av polynom, inte genom multiplikation av kommutativa polynom, och är inte kommutativ.

Definition av Drinfeld-moduler

Låt F vara ett algebraiskt funktionsfält med ett ändligt fält av konstanter och fixera en plats $\infty$ av F . Definiera A som ringen av element i F som är regelbundna på alla ställen utom möjligen $\infty$ . I synnerhet A en Dedekind-domän och den är diskret i F (med topologin inducerad av ${\displaystyle \infty } )$ . Till exempel kan vi ta A för att vara polynomringen $F_{q}[t]$ . Låt L vara ett fält utrustat med en ringhomomorfism $\iota :A\to L$ .

En Drinfeld A -modul över L är en ringhomomorfism

\phi :A\to L\{\tau \}

vars bild inte ingår i L , så att sammansättningen av

\phi

med

d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{ 1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}

sammanfaller med

\iota :A\to L

.

Villkoret att bilden av A inte är i L är ett icke-degenerationstillstånd, satt för att eliminera triviala fall, medan villkoret att $d\circ \phi =\iota$ ger intrycket att en Drinfeld-modul är helt enkelt en deformation av kartan $\iota$ .

Eftersom L {τ} kan betraktas som endomorfismer av additivgruppen av L , kan en Drinfeld A -modul betraktas som en verkan av A på additivgruppen av L , eller med andra ord som en A -modul vars underliggande additiv grupp är additivgruppen av L.

Exempel på Drinfeld-moduler

Definiera A till F _p [ T ], den vanliga (kommutativa!) ringen av polynom över det finita ordningsfältet p . Med andra ord A koordinatringen för en affin genus 0-kurva. Sedan bestäms en Drinfeld-modul ψ av bilden ψ( T ) av T , som kan vara vilket icke-konstant element som helst av L {τ}. Så Drinfeld-moduler kan identifieras med icke-konstanta element av L {τ}. (I det högre släktet är beskrivningen av Drinfeld-moduler mer komplicerad.)
Carlitz -modulen är Drinfeld-modulen ψ som ges av ψ( T ) = T +τ, där _A är Fp [ T ] och L är ett lämpligt fullständigt algebraiskt slutet fält som innehåller A . Det beskrevs av L. Carlitz 1935, många år före den allmänna definitionen av Drinfeld-modulen. Se kapitel 3 i Goss ( 1996 ) för mer information om Carlitz-modulen. Se även Carlitz exponentiell .

Shtukas

Antag att X är en kurva över det finita fältet F _p . En (höger) shtuka med rang r över ett schema (eller stack) U ges av följande data:

Lokalt fria skivor E , E′ av rang r över U × X tillsammans med injektionsmorfismer

E → E′ ← (Fr×1) ^* E ,

vars kokkärnor stöds på vissa grafer av morfismer från U till X (kallas nollan och polen för shtuka, och vanligtvis betecknas med 0 och ∞), och är lokalt fria från rang 1 på deras stöd. Här (Fr×1) ^* E är tillbakadragningen av E av Frobenius endomorphism av U .

En vänster shtuka definieras på samma sätt förutom att riktningen på morfismerna är omvänd. Om polen och nollpunkten på shtukan är osammanhängande så är vänster shtukas och höger shtukas i huvudsak desamma.

Genom att variera U får vi en algebraisk stack Shtuka ^r av shtukas av rang r , en "universell" shtuka över Shtuka ^r × X och en morfism (∞,0) från Shtuka ^r till X × X som är jämn och av relativ dimension 2 r − 2. Stacken Shtuka ^r är inte av ändlig typ för r > 1.

Drinfeld-moduler är i någon mening speciella typer av shtukas. (Detta framgår inte alls av definitionerna.) Mer exakt visade Drinfeld hur man konstruerar en shtuka från en Drinfeld-modul. Se Drinfeld, VG Kommutativa underringar av vissa icke-kommutativa ringar. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), nr. 1, 11–14, 96. för detaljer.

Ansökningar

Langlands gissningar för funktionsfält anger (mycket grovt) att det finns en bijektion mellan kuspidala automorfa representationer av GL _n och vissa representationer av en Galois-grupp. Drinfeld använde Drinfeld-moduler för att bevisa några speciella fall av Langlands-förmodan, och senare bevisade de fullständiga Langlands-förmodningarna för GL ₂ genom att generalisera Drinfeld-moduler till shtukas. Den "svåra" delen av att bevisa dessa gissningar är att konstruera Galois-representationer med vissa egenskaper, och Drinfeld konstruerade de nödvändiga Galois-representationerna genom att hitta dem inuti den l-adiska kohomologin av vissa modulrum av rang 2 shtukas.

Drinfeld föreslog att modulutrymmen av shtukas av rang r skulle kunna användas på ett liknande sätt för att bevisa Langlands antaganden för GL _r ; de formidabla tekniska problemen med att genomföra detta program löstes av Lafforgue efter många års ansträngningar.

Se även

Drinfeld-moduler

Drinfeld, V. (1974), "Elliptic modules", Matemacheskii Sbornik (på ryska), 94 , MR 0384707 . Engelsk översättning i matematik. USSR Sbornik 23 (1974) 561–592.
Goss, D. (1996), Basic structures of function field aritmetic , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 35, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-61480-4 , ISBN 978-3-540-61087-8 , MR 1423131
Gekeler, E.-U. (2001) [1994], "Drinfel'd module" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
Laumon, Gérard (1996), Cohomology of Drinfeld Modular Varieties, Del 1, Geometry, Counting of Points and Local Harmonic Analysis, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 41, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47060-5
Laumon, Gérard; Waldspurger, Jean Loup (1996), Cohomology of Drinfeld Modular Varieties, Del 2, Automorphic Forms, Trace Formulas and Langlands Correspondence, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 56, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47061-2
Rosen, Michael (2002), "13. Drinfeld-moduler: en introduktion", Talteori i funktionsfält , Graduate Texts in Mathematics , vol. 210, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3 , Zbl 1043.11079 .

Shtukas

Drinfeld, VG Kohomologi av kompakterade modulvarianter av F-skivor av rang 2. (ryska) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Ottel. Matta. Inst. Steklov. ( LOMI ) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. jag Teor. Mejsel. III, 107–158, 189; översättning i J. Soviet Math. 46 (1989), nr. 2, 1789–1821
Drinfeld, VG (1987), "Moduli varianter av F-skivor", Funktsional. Anal. Jag Prilozhen. (på ryska), 21 (2): 23–41 . Engelsk översättning: Functional Anal. Appl. 21 (1987), nr. 2, 107-122.
Goss, D. (2003), "Vad är en shtuka?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 50 (1)
Kazhdan, David A. (1979), "En introduktion till Drinfelds Shtuka", i Borel, Armand ; Casselman, W. (red.), Automorfa former, representationer och L-funktioner (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Del 2, Proc . Sympos. Pure Math., XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 347–356, ISBN 978-0-8218-1437-6 , MR 0546623