Wirtinger ojämlikhet (2-former)

För andra ojämlikheter uppkallade efter Wirtinger, se Wirtingers ojämlikhet .

Inom matematiken är Wirtinger-ojämlikheten , uppkallad efter Wilhelm Wirtinger , ett grundläggande resultat i komplex linjär algebra som relaterar de symplektiska och volymformerna av en hermitisk inre produkt . Det har viktiga konsekvenser i komplex geometri , som att visa att de normaliserade yttre krafterna hos Kähler-formen av ett Kähler-grenrör är kalibreringar .

Påstående

Betrakta ett reellt vektorrum med positiv-definierad inre produkt g , symplektisk form ω , och nästan komplex struktur J , länkad av ω ( u , v ) = g ( J ( u ), v ) för alla vektorer u och v . Sedan finns det för alla ortonormala vektorer v ₁ , ..., v _{2 k}

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega} _{k{\text{ gånger}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.$

Det finns likhet om och endast om spännvidden av v ₁ , ..., v _{2 k} är stängd under driften av J .

På språket för en forms komma kan Wirtingers sats (dock utan precision om när likhet uppnås) också formuleras som att kommasen för formen ω ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ω är lika med k ! .

Bevis

k = 1

I specialfallet k = 1 är Wirtinger-ojämlikheten ett specialfall av Cauchy–Schwarz-olikheten :

$\omega (v_{1},v_{ 2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1 .$

Enligt likhetsfallet med Cauchy–Schwarz-olikheten uppstår jämlikhet om och endast om J ( v ₁ ) och v ₂ är kolinjära, vilket är ekvivalent med att spännvidden av v ₁ , v ₂ är stängd under J .

k > 1

Låt v ₁ , ..., v _{2 k} vara fixerade, och låt T beteckna deras spännvidd. Sedan finns det en ortonormal bas e ₁ , ..., e _{2 k} av T med dubbel basis w ₁ , ..., w _{2 k} så att

$\iota ^{\ast }\omega =\sum _{j= 1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{2j},$

där ι anger inklusionskartan från T till V . Detta innebär

$\underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^ {\ast }\omega } _{k{\text{ gånger}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{ 1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},$

vilket i sin tur innebär

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega} _{k{\text{ gånger}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,$

där olikheten följer av det tidigare etablerade fallet k = 1 . Om likhet gäller, så måste det enligt k = 1 likhetsfallet vara så att ω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = ±1 för varje i . Detta motsvarar antingen ω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = 1 eller ω ( e _{2 i} , e _{2 i − 1} ) = 1 , vilket i båda fallen (från k = 1 -fallet) innebär att span av e _{2 i − 1} , e _{2 i} är stängd under J , och därmed att spännvidden av e ₁ , ..., e _{2 k} är stängd under J .

Slutligen, beroendet av kvantiteten

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ gånger}}}) (v_{1},\ldots,v_{2k})$

på v ₁ , ..., är v _{2 k} endast på kvantiteten v ₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ v _{2 k} , och från ortonormalitetstillståndet på v ₁ , ..., v _{2 k} är denna kilprodukt väl- bestäms upp till ett tecken. Detta relaterar ovanstående arbete med e ₁ , ..., e _{2 k} till det önskade påståendet i termer av v ₁ , ..., v _{2 k} .

Konsekvenser

Givet ett komplext grenrör med hermitisk metrisk , innebär Wirtingers sats omedelbart att för varje 2 k -dimensionell inbäddad undergren M finns det

$\operatörsnamn {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},$

där ω är Kähler-formen av metriken. Vidare uppnås jämlikhet om och endast om M är en komplex delmanifold . I det speciella fallet att det hermitiska måttet uppfyller Kählervillkoret , säger detta att 1 / k ! ω ^k är en kalibrering för den underliggande riemannska metriken och att motsvarande kalibrerade undergrenar är de komplexa undergrenarna av komplex dimension k . Detta säger särskilt att varje komplex undergrenrör av ett Kähler-grenrör är ett minimalt undergrenrör och till och med volymminimerande bland alla undergrenrör i sin homologiklass .

Med hjälp av Wirtingers ojämlikhet sträcker sig dessa fakta till och med till det mer sofistikerade sammanhanget av strömningar i Kählers mångfald.

Se även

• Gromovs ojämlikhet för komplext projektivt rum
• Systolisk geometri

Anteckningar

•     Federer, Herbert (1969). Geometrisk måttteori . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN 978-3-540-60656-7 . MR 0257325 . Zbl 0176.00801 .
•     Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principer för algebraisk geometri . Ren och tillämpad matematik. New York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-32792-1 . MR 0507725 . Zbl 0408.14001 .
•    Harvey, Reese ; Lawson, H. Blaine, Jr. (1982). "Kalibrerade geometrier" . Acta Mathematica . 148 : 47–157. doi : 10.1007/BF02392726 . MR 0666108 . Zbl 0584.53021 .
•     McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2017). Introduktion till symplektisk topologi . Oxford Graduate Texts in Mathematics (tredje upplagan av 1995 års originalutgåva). Oxford: Oxford University Press . doi : 10.1093/oso/9780198794899.001.0001 . ISBN 978-0-19-879490-5 . MR 3674984 . Zbl 1380.53003 .
•    Wirtinger, W. (1936). "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Maßbestimmung". Monatshefte für Mathematik und Physik . 44 : 343-365. doi : 10.1007/BF01699328 . MR 1550581 . Zbl 0015.07602 .