Homotopi fiber

Inom matematiken , särskilt homotopiteorin , är homotopifibern (ibland kallad kartläggningsfibern ) en del av en konstruktion som associerar en fibrering till en godtycklig kontinuerlig funktion av topologiska utrymmen ${\displaystyle f:A\to B$ } . Den fungerar som en homotopi-teoretisk kärna av en kartläggning av topologiska utrymmen på grund av att den ger en lång exakt sekvens av homotopigrupper

$\cdots \to \pi _{n+1}(B) \to \pi _{n}({\text{Hofiber}}(f))\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(B)\to \cdots$

Dessutom kan homotopifibern hittas i andra sammanhang, såsom homologisk algebra, där den distingerade triangeln

$C(f)_{\bullet }[-1]\to A_{\bullet }\to B_{\bullet } \xrightarrow {[+1]}$

ger en lång exakt sekvens analog med den långa exakta sekvensen av homotopigrupper. Det finns en dubbelkonstruktion som kallas homotopy cofiber .

Konstruktion

Homotopfibern har en enkel beskrivning för en kontinuerlig karta $f:A\to B$ . Om vi ersätter $f$ med en fibrering, så är homotopifibern helt enkelt fibern i ersättningsfibrationen. Vi minns denna konstruktion av att ersätta en karta med en fibration:

Givet en sådan karta kan vi ersätta den med en fibrering genom att definiera kartläggningsvägsutrymmet $E_{f}$ till att vara uppsättningen av par $(a,\gamma )$ där $a\in A$ och $\gamma :I\to B$ (för ${\displaystyle I=[0,1]} )$ en sökväg så att $\gamma (0)=f(a)$ . Vi ger $E_{f}$ en topologi genom att ge den subrymdstopologin som en delmängd av $A\times B^{I}$ (där $B^{ I}$ är utrymmet för banor i $B$ som som funktionsutrymme har den kompakta öppna topologin ) . Då är kartan $E_{f}\to B$ given av $(a,\gamma )\mapsto \gamma (1)$ en fibrering . Dessutom är $E_{f}$ homotopi ekvivalent med $A$ enligt följande: Bädda in $A$ som ett delrum av $E_{f}$ med $a\mapsto \gamma _{a}$ där ${\displaystyle \gamma _{a}}$ är den konstanta vägen vid $f(a)$ . Sedan $E_{f}$ deformation tillbaka till detta delrum genom att dra ihop banorna.

Fibern i denna fibration (som endast är väldefinierad upp till homotopi-ekvivalens) är homotopifibern

${\begin{matrix}{\text{Hofiber}}(f)&\to &E_{f}\\&&\downarrow \\&&B\end{matrix}}$

som kan definieras som mängden av alla $(a,\gamma )$ med $a\in A$ och $\gamma :I\ till B$ en väg så att $\gamma (0)=f(a)$ och $\gamma (1)=*$ för vissa fasta baspunkt $*\in B$ .

Som en homotopigräns

Ett annat sätt att konstruera homotopifibern för en karta är att överväga homotopigränsen pg ²¹ i diagrammet

${\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\A& \xrightarrow {f} &B\end{matrix}}\right)\simeq F_{f}$

detta beror på att beräkning av homotopigränsen motsvarar att hitta tillbakadragningen av diagrammet

${\begin{matrix}&&B^{I}\\&&\downarrow \\A\times *&\xrightarrow {f} &B\times B\end{matris }}$

där den vertikala kartan är källan och målkartan för en väg ${\displaystyle \gamma :I\to B} ,$ så

$\gamma \mapsto (\gamma (0),\gamma (1))$

Detta innebär att homotopigränsen finns i kartsamlingen

$\left\{(a,\gamma )\in A\times B^{I }:f(a)=\gamma (0){\text{ och }}\gamma (1)=*\right\}$

vilket är exakt den homotopifiber som definierats ovan.

Egenskaper

Homotopi fiber av en fibration

I det speciella fallet att den ursprungliga kartan $f$ var en fibrering med fiber $F$ , då kommer homotopiekvivalensen $A\to E_{f}$ som anges ovan att vara en karta över fibrer över $B$ . Detta kommer att inducera en morfism av deras långa exakta sekvenser av homotopigrupper , från vilka man (genom att tillämpa Fem Lemma , som görs i Puppe-sekvensen ) kan se att kartan $F \to F f$ är en svag ekvivalens . Den ovan givna konstruktionen återger alltså samma homotopityp om det redan finns en.

Dualitet med kartläggningskon

Homotopifibern är dubbel till mappningskonen , ungefär som mappningsvägsutrymmet är dubbelt till mappningscylindern .

Exempel

Slingutrymme

Givet ett topologiskt utrymme $X$ och inkluderingen av en punkt

$\iota :\{x_{0}\}\hookrightarrow X$

homotopifibern för denna karta är då

$\left\{(x_{0},\gamma )\in \{x_{0 }\}\ gånger X^{I}:x_{0}=\gamma (0){\text{ och }}\gamma (1)=x_{0}\right\}$

vilket är slingutrymmet $\Omega X$ .

Från ett täckande utrymme

Givet en universell täckning

$\pi :{\tilde {X}}\to X$

homotopfibern ${\text{Hofiber}}(\pi )$ har egenskapen

$\pi _{k}({\text{Hofiber}}(\pi ))={\begin{cases}\ pi _{0}(X)&k<1\\0&k\geq 1\end{cases}}$

vilket kan ses genom att titta på den långa exakta sekvensen av homotopigrupperna för fibrationen. Detta analyseras vidare nedan genom att titta på Whitehead-tornet.

Ansökningar

Postnikov-tornet

En huvudsaklig tillämpning av homotopifibern är vid konstruktionen av Postnikov-tornet . För ett (trevligt nog) topologiskt utrymme $X$ kan vi konstruera en sekvens av utrymmen $\left\{X_{n}\right\}_{n\geq 0}$ och kartor $f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ där

$\pi _{k}\left(X_{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}( X)&k\leq n\\0&{\text{ annars }}\end{case}}$

och

$X\simeq {\underset {\leftarrow }{\text{lim}}}\left(X_{k}\right)$

Nu kan dessa kartor $f_{n}$ konstrueras iterativt med hjälp av homotopifibrer . Detta för att vi kan ta en karta

$X_{n-1}\to K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)$

representerar en kohomologiklass i

$H^{n-1}\left(X_{n-1},\pi _{n}(X)\right)$

och konstruera homotopifibern

${\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\ start{matrix}&&*\\&&\downarrow \\X_{n-1}&\xrightarrow {f} &K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)\end{matrix} }\right)\simeq X_{n}$

Lägg dessutom märke till att homotopfibern för $f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ är

${\text{Hofiber}}\left(f_{n}\right)\simeq K\left(\pi _{n}(X ),n\right)$

visar att homotopifibern fungerar som en homotopi-teoretisk kärna. Observera att detta faktum kan visas genom att titta på den långa exakta sekvensen för fibrationen som konstruerar homotopfibern.

Kartor från whitehead-tornet

Den dubbla föreställningen om Postnikov-tornet är Whitehead-tornet som ger en sekvens av mellanrum $\{X^{n}\}_{n\geq 0}$ och kartor $f^{n}:X^{n}\to X^{n-1}$ där

$\pi _{k}\left(X^{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k} (X)&k\geq n\\0&{\text{annars}}\end{fall}}$

därför $X^{0}\simeq X$ . Om vi tar den inducerade kartan

$f_{0}^{n+1}:X^{n+1}\to X$

homotopifibern för denna karta återställer den $n$ -th postnikov approximationen $X_{n}$ sedan den långa exakta sekvensen av fibrationen

${\begin{matrix}{\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)&\to &X ^{n+1}\\&&\nedåtpil \\&&X\end{matris}}$

vi får

${\begin {matris}\to &\pi _{k+1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _ {k+1}(X^{n+1})&\to &\pi _{k+1}(X)&\to \\&\pi _{k}\left({\text{Hofiber} }\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _ {k}(X)&\to \\&\pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)& \to &\pi _{k-1}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k-1}(X)&\to \end{matris}}$

vilket ger isomorfismer

$\pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n +1}\right)\right)\cong \pi _{k}(X)$

för $k\leq n$ .

Se även

Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 .