Suspension (topologi)
Inom topologi , en gren av matematik , erhålls suspensionen av ett topologiskt utrymme X intuitivt genom att sträcka X in i en cylinder och sedan kollapsa båda ändytorna till pekar. Man ser X som "upphängd" mellan dessa slutpunkter. Suspensionen av X betecknas med SX eller susp( X ) .
Det finns en variant av upphängningen för spetsiga utrymmen , som kallas den reducerade upphängningen och betecknas med Σ X. Den "vanliga" suspensionen SX kallas ibland den oreducerade suspensionen , obaserad suspension , eller fri suspension av X , för att skilja den från Σ X.
Gratis upphängning
Den (fria) upphängningen för ett topologiskt utrymme kan definieras på flera sätt.
1. är kvotutrymmet . Den kan med andra ord konstrueras enligt följande:
- Konstruera cylindern .
- Betrakta hela uppsättningen som en enda punkt ("limma ihop" alla dess punkter).
- Betrakta hela uppsättningen som en enda punkt ("limma ihop" alla dess punkter).
2 . Ett annat sätt att skriva detta är:
Där är två punkter , och för varje i i {0,1} är projektionen till punkten (en funktion som mappar allt till ). Det betyder att upphängningen är resultatet av att konstruera cylindern och sedan fästa den med dess ytor, och , till punkterna längs projektionerna .
3. Man kan se som två koner på X, limmade ihop vid basen.
4. kan också definieras som sammanfogningen där är ett diskret utrymme med två poäng.
Egenskaper
I grova termer ökar S dimensionen av ett utrymme med ett: till exempel tar det en n - sfär till en ( n + 1)-sfär för n ≥ 0.
Givet en kontinuerlig karta finns det en kontinuerlig karta definierad av där hakparenteser anger ekvivalensklasser . Detta gör till en funktion från kategorin topologiska rum till sig själv.
Minskad fjädring
0 Om X är ett spetsigt utrymme med baspunkt x , finns det en variation av upphängningen som ibland är mer användbar. Den reducerade suspensionen eller baserade suspensionen Σ X av X är kvotutrymmet:
- .
0 0 Detta motsvarar att ta SX och kollapsa linjen ( x × I ) som förenar de två ändarna till en enda punkt. Baspunkten för det spetsiga utrymmet Σ X antas vara ekvivalensklassen för ( x , 0).
Man kan visa att den reducerade suspensionen av X är homeomorf till smash-produkten av X med enhetscirkeln S 1 .
För väluppfostrade utrymmen, såsom CW-komplex , är den reducerade suspensionen av X homotopi ekvivalent med den obaserade suspensionen.
Kombination av reducerade fjädrings- och looprumsfunktioner
Σ ger upphov till en funktor från kategorin spetsiga utrymmen till sig själv. En viktig egenskap hos denna funktion är att den lämnas intill funktorn och tar ett spetsigt mellanslag till dess looputrymme . Vi har med andra ord en naturlig isomorfism
där och är spetsiga utrymmen och står för kontinuerliga kartor som bevarar baspunkter. Denna adjunktion kan förstås geometriskt enligt följande: uppstår ur om en spetsig cirkel är fäst vid varje icke-baspunkt för , och baspunkterna av alla dessa cirklar identifieras och limmas till baspunkten för . För att nu specificera en spetsig karta från till , måste vi ge spetsiga kartor från var och en av dessa spetsiga cirklar till . Det vill säga att vi måste associera till varje element i en slinga i (ett element i slingutrymmet ), och den triviala slingan ska vara associerad med baspunkten för : detta är en spetsig karta från till . (Kontinuiteten för alla inblandade kartor måste kontrolleras.)
Adjunktionen är alltså besläktad med currying , att ta kartor på kartesiska produkter till deras curryform, och är ett exempel på Eckmann-Hilton-dualitet .
Detta tillägg är ett specialfall av tillägget som förklaras i artikeln om smash-produkter .
Ansökningar
Den reducerade suspensionen kan användas för att konstruera en homomorfism av homotopigrupper , som Freudenthals suspensionssats gäller. I homotopi-teorin utgör de fenomen som bevaras under suspension, i lämplig mening, stabil homotopi-teori .
Exempel
Några exempel på avstängningar är:
- Upphängningen av en n-boll är homeomorf till (n+1)-bollen.
Desuspension
Desuspension är en operation som delvis är omvänd till suspension.
Se även
- Den här artikeln innehåller material från Suspension on PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike License .