Algebraisk geometri av projektiva rum

Projektivt utrymme spelar en central roll i algebraisk geometri . Syftet med denna artikel är att definiera begreppet i termer av abstrakt algebraisk geometri och att beskriva några grundläggande användningar av projektivt rum.

Homogena polynomideal

Låt k vara ett algebraiskt slutet fält och V vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över k . Den symmetriska algebra för det dubbla vektorrummet V* kallas polynomringen på V och betecknas med k [ V ]. Det är en naturligt graderad algebra efter graden av polynom.

Den projektiva Nullstellensatz anger att för varje homogent ideal I som inte innehåller alla polynom av en viss grad (refererat till som ett irrelevant ideal ), är den gemensamma nollpunkten för alla polynom i I (eller Nullstelle ) icke-trivial (dvs. gemensamt nollställe innehåller mer än det enskilda elementet {0}), och mer exakt, idealet för polynom som försvinner på det stället sammanfaller med radikalen i idealet I .

Detta sista påstående sammanfattas bäst med formeln: för alla relevanta ideal I ,

${\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}.$

I synnerhet är maximala homogena relevanta ideal för k [ V ] en- till -en med linjer genom ursprunget till V.

Konstruktion av projektiviserade system

Låt V vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över ett fält k . Schemat över k definierat av Proj ( k [ V ] ) kallas projektivisering av V . Det projektiva n -utrymmet på k är projektiviseringen av vektorrummet $\mathbb {A} _{k}^{n+1}$ .

Definitionen av kärven görs på basen av öppna uppsättningar av huvudsakliga öppna uppsättningar D ( P ), där P varierar över uppsättningen av homogena polynom, genom att sätta sektionerna

${\displaystyle \Gamma (D(P),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)})$

att vara ringen $(k[V]_{P})_{0}$ , ringens nollgradskomponent som erhålls genom lokalisering vid P . Dess element är därför de rationella funktionerna med homogen täljare och någon potens av P som nämnare, med samma grad som täljaren.

Situationen är tydligast vid en icke-försvinnande linjär form φ. Begränsningen av strukturblocket till den öppna mängden D (φ) identifieras sedan kanoniskt med det affina schemat spec( k [ker φ]). Eftersom D ( φ ) bildar ett öppet lock av X , kan de projektiva scheman anses erhållna genom limning via projektivisering av isomorfa affina scheman.

Det kan noteras att ringen av globala sektioner av detta schema är ett fält, vilket antyder att schemat inte är affint. Alla två öppna uppsättningar skär varandra icke-trivialt: dvs schemat är irreducerbart . När fältet k är algebraiskt stängt är $\mathbb {P} (V)$ i själva verket en abstrakt variant , som dessutom är komplett . jfr. Ordlista för schemateori

Avdelare och vridskivor

Projektfunktionen ger i själva verket mer än bara ett schema: en bunt i graderade moduler över strukturen bunt definieras i processen. De homogena komponenterna i denna graderade kärva betecknas ${\mathcal {O}}(i)$ , Serre vridningskärvor . Alla dessa skivor är i själva verket linjebuntar . Genom överensstämmelsen mellan Cartier-delare och linjebuntar är den första vridande bunten ${\mathcal {O}}(1)$ ekvivalent med hyperplansdelare.

Eftersom ringen av polynom är en unik faktoriseringsdomän , är varje primideal av höjd 1 principiellt , vilket visar att vilken Weil-divisor som helst är linjärt ekvivalent med någon makt hos en hyperplansdivisor. Detta övervägande bevisar att Picard-gruppen i ett projektivt utrymme är fri från rang 1. Det vill säga $\mathrm {Pic} \ \mathbf {P} _{\mathbf {k} }^ {n}=\mathbb {Z}$ , och isomorfismen ges av graden av divisorer.

Klassificering av vektorbuntar

De inverterbara skivorna , eller linjebuntarna , på det projektiva utrymmet $\mathbb {P} _{k}^{n},\,$ för k ett fält , är exakt de vridande skivorna ${\mathcal {O}}(m),\ m\in \mathbb {Z} ,$ så Picard-gruppen av $\mathbb {P} _{k} ^{n}$ är isomorft till $\mathbb {Z}$ . Isomorfismen ges av den första Chern-klassen .

Utrymmet för lokala sektioner på en öppen uppsättning $U\subseteq \mathbb {P} (V)$ i linjebunten ${\mathcal {O}}(k )$ är utrymmet för homogena grad k reguljära funktioner på konen i V som är associerad med U . I synnerhet utrymmet för globala sektioner

$\Gamma (\mathbb {P} ,{\mathcal {O}}(m))$

försvinner om m < 0, och består av konstanter i k för m =0 och av homogena polynom med grad m för m > 0 . (Därav har dimension ${\textstil {\binom {m+n}{m}}={\binom {m+n}{n}}})$ .

Birkhoff -Grothendieck-satsen säger att på den projektiva linjen delas varje vektorbunt på ett unikt sätt som en direkt summa av linjebuntarna.

Viktiga linjebuntar

Den tautologiska bunten , som till exempel framstår som den exceptionella divisorn för uppblåsningen av en jämn punkt är kärven ${\mathcal {O}}(-1)$ . Den kanoniska bunten

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {P} _{k}^{n}),\,} är$$\displaystyle { \mathcal {O}}(-(n+1))}$ ( .

Detta faktum härrör från ett grundläggande geometriskt uttalande om projektiva utrymmen: Euler-sekvensen .

Negativiteten hos den kanoniska linjebunten gör projektiva utrymmen till utmärkta exempel på Fano-varianter , på samma sätt är deras antikanoniska linjebunt riklig (i själva verket mycket riklig). Deras index ( jfr Fano-varianter ) ges av ${\displaystyle \mathrm {Ind} (\mathbb {P} ^{n})=n+1} ,$ och av ett teorem från Kobayashi-Ochiai, projektiva utrymmen kännetecknas av Fano-varianter av fastigheten

$\mathrm {Ind} (X)=\dim X+1.$

Morfismer till projektiva scheman

Eftersom affina utrymmen kan bäddas in i projektiva utrymmen, kan alla affina varianter också bäddas in i projektiva utrymmen.

Varje val av ett ändligt system av icke-samtidigt försvinnande globala sektioner av en globalt genererad linjebunt definierar en morfism till ett projektivt rum. En linjebunt vars bas kan bäddas in i ett projektivt utrymme genom en sådan morfism kallas mycket rikligt .

Gruppen av symmetrier för det projektiva rummet $\mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}$ är gruppen av projektiviserade linjära automorfismer ${\ displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )}$ . Valet av en morfism till ett projektivt utrymme $j:X\to \mathbf {P} ^{n}$ modulo verkan av denna grupp är i själva verket ekvivalent med valet av en globalt genererande n -dimensionellt linjärt system av divisorer på en linjebunt på X . Valet av en projektiv inbäddning av X , modulo projektiva transformationer är likaledes ekvivalent med valet av en mycket riklig linjebunt på X .

En morfism till ett projektivt utrymme $j:X\to \mathbf {P} ^{n}$ definierar en globalt genererad linjebunt med $j^{* }{\mathcal {O}}(1)$ och ett linjärt system

$j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))\subset \Gamma (X,j^{*}{\mathcal { O}}(1)).$

Om intervallet för morfismen $j$ inte finns i en hyperplansdivisor, är tillbakadraget en injektion och det linjära systemet av divisorer

$j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))$ är ett linjärt system med dimension n .

Ett exempel: Veronese-inbäddningarna

Veronese-inbäddningarna är inbäddningar $\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}$ för ${\textstyle N= {\binom {n+d}{d}}-1}$

Se svaret på MathOverflow för en tillämpning av Veronese-inbäddningen för beräkning av kohomologigrupper av jämna projektiva hyperytor (släta delare).

Kurvor i projektiva utrymmen

Som Fano-varianter är de projektiva utrymmena styrda sorter . Skärningsteorin för kurvor i det projektiva planet ger Bézout-satsen .

Se även

Allmän algebraisk geometri

• Schema (matematik)
• Projektiv variation
• Projekt konstruktion

Allmän projektiv geometri

• Projektivt utrymme
• Projektiv geometri
• Homogent polynom

Anteckningar

•   Robin Hartshorne (1977). Algebraisk geometri . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9 .
• Övningsblad (på franska) om projektiva utrymmen, på Yves Laszlos sida .