Equipollens (geometri)
.svg)
I euklidisk geometri är ekvilollens en binär relation mellan riktade linjesegment . Två parallella linjesegment är jämställda när de har samma längd och riktning.
Parallelogramegenskap
En definitiv egenskap hos det euklidiska rummet är parallellogramegenskapen hos vektorer: Om två segment är ekvivalenta, bildar de två sidor av ett parallellogram :
Om en given vektor håller mellan a och b , c och d , så är vektorn som håller mellan a och c densamma som den som håller mellan b och d .
— Bertrand Russell , The Principles of Mathematics , sid 432
Historia
Konceptet med equipollent linjesegment utvecklades av Giusto Bellaitis 1835. Därefter antogs termen vektor för en klass av equipollent linjesegment. Bellavitis användning av idén om en relation för att jämföra olika men liknande objekt har blivit en vanlig matematisk teknik, särskilt i användningen av ekvivalensrelationer . Bellaitis använde en speciell notation för equipolence av segment AB och CD :
Följande stycken, översatta av Michael J. Crowe, visar den förväntan som Bellaitis hade på vektorkoncept :
- Equipollens fortsätter att hålla när man ersätter linjerna i dem, andra linjer som är respektive equipollent för dem, hur de än kan vara belägna i rymden. Av detta kan man förstå hur vilket antal och vilken typ av linjer som helst kan summeras , och att i vilken ordning dessa linjer än tas, kommer samma equipollent-summa att erhållas...
- I equipollences, precis som i ekvationer, kan en linje flyttas från den ena sidan till den andra, förutsatt att skylten ändras...
Motsatt riktade segment är således negativa till varandra:
- Jämvikelsen där n står för ett positivt tal, indikerar att AB både är parallellt med och har samma riktning som CD , och att deras längder har relationen uttryckt av AB = n. CD .
Segmentet från A till B är en bunden vektor , medan klassen av segment som motsvarar den är en fri vektor , i euklidiska vektorers språkbruk .
Förlängning
Geometrisk ekvivalent används också på sfären:
- För att uppskatta Hamiltons metod, låt oss först påminna om det mycket enklare fallet med den abelska gruppen av översättningar i det euklidiska tredimensionella rummet. Varje översättning kan representeras som en vektor i rymden, endast riktningen och storleken är signifikant och platsen är irrelevant. Sammansättningen av två översättningar ges av huvud-till-svans parallellogramregeln för vektoraddition; och tar det omvända beloppet till att vända riktningen. I Hamiltons teori om vändningar har vi en generalisering av en sådan bild från den abelska översättningsgruppen till den icke-abelska SU(2) . Istället för vektorer i rymden har vi att göra med riktade storcirkelbågar, med längden < π på en enhetssfär S 2 i ett euklidiskt tredimensionellt rum. Två sådana bågar anses vara likvärdiga om man genom att föra den ena längs sin stora cirkel kan få den att sammanfalla med den andra.
På en storcirkel av en sfär är två riktade cirkelbågar ekvivalenta när de överensstämmer i riktning och båglängd. En ekvivalensklass av sådana bågar är associerad med en quaternion versor
- där a är båglängden och r bestämmer storcirkelns plan med vinkelräthet.
- Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
- Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze , länk från Google Books .
- Charles-Ange Laisant (1874): Fransk översättning med tillägg av Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences , länk från Google Books .
- Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze , länk från HathiTrust.
- Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipolence , Gauthier-Villars, länk från University of Michigan Historical Math Collection.
- Lena L. Severance (1930) The Theory of Equipollences; Metod för analytisk geometri för Sig. Bellavitis , länk från HathiTrust.