Inneboende mått

I den matematiska studien av metriska utrymmen kan man överväga båglängden på banorna i rummet. Om två punkter ligger på ett givet avstånd från varandra är det naturligt att förvänta sig att man ska kunna ta sig från den första punkten till den andra längs en väg vars båglängd är lika med (eller mycket nära) det avståndet. Avståndet mellan två punkter i ett metriskt utrymme i förhållande till det inneboende måttet definieras som infimum av längderna på alla banor från den första punkten till den andra. Ett metriskt utrymme är ett längdmetriskt utrymme om det inneboende måttet överensstämmer med utrymmets ursprungliga måttenhet.

Om utrymmet har den starkare egenskapen att det alltid finns en bana som uppnår den infimum av längd (en geodetisk ) så kallas den ett geodetiskt metriskt utrymme eller geodetiskt utrymme . Till exempel är det euklidiska planet ett geodetiskt utrymme, med linjesegment som dess geodesik. Det euklidiska planet med ursprunget borttaget är inte geodetiskt, men är fortfarande ett längdmetriskt utrymme.

Definitioner

Låt $(M,d)$ vara ett metriskt utrymme , dvs. $M$ är en samling punkter (som alla punkter i planet, eller alla punkter på cirkeln ) och $d(x,y)$ är en funktion som ger oss avståndet mellan punkterna $x,y\in M$ . Vi definierar en ny måttenhet $d_{\text{I}}$ på ${\displaystyle M} ,$ känd som den inducerade intrinsic metric , enligt följande: $d_{\ text{I}}(x,y)$ är längden på alla vägar från $x$ till $y$ .

Här är en väg från $x$ till $y$ en kontinuerlig karta

$\gamma \colon [0,1]\högerpil M$

med $\gamma (0)=x$ och $\gamma (1)=y$ . Längden på en sådan väg definieras som förklarat för likriktbara kurvor . Vi sätter $d_{\text{I}}(x,y)=\infty$ om det inte finns någon ändlig längdväg från $x$ till ${\ displaystil y}$ . Om

$d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)$

för alla punkter $x$ och $y$ i $M$ säger vi att $(M,d)$ är ett längdmellanrum eller ett banmetriskt utrymme och måtten $d$ är inneboende .

Vi säger att måttet $d$ har ungefärliga mittpunkter om för någon $\varepsilon >0$ och valfritt par av punkter $x$ och $y$ i $M$ det finns $c$ i $M$ så att $d(x,c)$ och $d(c,y )$ är båda mindre än

${{d(x,y) \over 2}+{\varepsilon }}$ .

Exempel

• Euklidiskt utrymme $\mathbb {R} ^{n}$ med det vanliga euklidiska måttet är ett banmetriskt utrymme. $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}$ är också.
• Enhetscirkeln $S^{1}$ med metriken som ärvts från den euklidiska metriken för $\mathbb {R} ^{2}$ (ackordmetriken ) är inte ett banmetriskt utrymme . Den inducerade inneboende metriken på $S^{1}$ mäter avstånd som vinklar i radianer , och det resulterande längdmetriska utrymmet kallas Riemanncirkeln . I två dimensioner är ackordmetriken på sfären inte inneboende, och den inducerade inneboende metriken ges av storcirkelavståndet .
• Varje anslutet Riemann-grenrör kan förvandlas till ett banmetriskt utrymme genom att definiera avståndet mellan två punkter som infimum av längderna av kontinuerligt differentierbara kurvor som förbinder de två punkterna. (Den Riemannska strukturen tillåter att man definierar längden på sådana kurvor.) På analogt sätt inkluderade andra grenrör där en längd definieras Finsler grenrör och sub-Riemann grenrör .
• Varje fullständigt och konvext metriskt utrymme är ett längdmetriskt utrymme ( Khamsi & Kirk 2001 , Theorem 2.16), ett resultat av Karl Menger . Det omvända gäller dock inte, dvs det finns längdmetriska utrymmen som inte är konvexa.

Egenskaper

• I allmänhet har vi $d\leq d_{\text{I}}$ och topologin som definieras av $d_{\text{I}}$ är därför alltid finare än eller lika med till den som definieras av $d$ .
• Mellanrummet $(M,d_{\text{I}})$ är alltid ett sökvägsmetriskt utrymme (med varningen, som nämnt ovan, att $d_{\text{ I}}$ kan vara oändlig).
• Metriken för ett längdrum har ungefärliga mittpunkter. Omvänt är varje komplett metriskt utrymme med ungefärliga mittpunkter ett längdutrymme.
• Hopf –Rinow-satsen säger att om ett längdrum $(M,d)$ är komplett och lokalt kompakt så kan vilka två punkter som helst i $M$ kopplas samman med en minimerande geodetik och alla avgränsade slutna uppsättningar i $M$ är kompakta .

• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, red.) Volym I, 908 s., Springer International Publishing, 2018. Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volym II,

• 842 s., Springer International Publishing, 2018.

•   Gromov, Mikhail (1999), Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces , Progress in Math., vol. 152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
•   Khamsi, Mohamed A. ; Kirk, William A. (2001), An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0