Länk (enkelt komplex)

Tetraedern är ett 2-komplex .

Länken i ett förenklat komplex är en generalisering av grannskapet till en vertex i en graf . Länken till en vertex kodar information om den lokala strukturen av komplexet vid vertexet.

Länk till en vertex

Givet ett abstrakt förenklat komplex X och ${\textstyle v}$ en vertex i ${\textstyle V(X)}$ , dess länk ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X )}$ är en uppsättning som innehåller varje ansikte ${\textstyle \tau \in X}$ så att ${\textstyle v\not \in \tau }$ och ${\textstyle \tau \cup \ {v\}}$ är ett ansikte av X .

• I specialfallet där X är ett 1-dimensionellt komplex (det vill säga: en graf ), innehåller ${\textstyle \operatornamn {Lk} (v,X)}$ alla hörn ${\ textstyle u\neq v}$ så att ${\textstyle \{u,v\}}$ är en kant i grafen; det vill säga ${\textstyle \operatornamn {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ grannskapet till ${\textstyle v }$ i grafen.

Givet ett geometriskt förenklat komplex X och ${\textstyle v\in V(X)}$ , är dess länk ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ en uppsättning som innehåller varje ansikte ${\textstyle \tau \in X}$ så att ${\textstyle v\not \in \tau }$ och det finns en simplex i ${\textstyle X}$ som har ${\textstyle v}$ som ett vertex och ${\textstyle \tau }$ som ett ansikte. På motsvarande sätt sammanfogningen ${\textstyle v\star \tau }$ ett ansikte i ${\textstyle X}$ .

• Som ett exempel, anta att v är det övre hörnet av tetraedern till vänster. Då är länken av v triangeln vid basen av tetraedern. Detta beror på att för varje kant av den triangeln är sammanfogningen av v med kanten en triangel (en av de tre trianglarna på sidorna av tetraedern); och sammanfogningen av v med själva triangeln är hela tetraedern.
  

  Länken till en vertex av en tetraeder är triangeln.

En alternativ definition är: länken Lk( v , X ) till en vertex ${\textstyle v\in V(X)}$ är grafen konstruerad enligt följande. Spåren för Lk( v , X ) är kanterna på X som faller in mot v . Två sådana kanter är intilliggande i Lk( v , X ) om de faller in i en gemensam 2-cell vid v .

• Grafen Lk( v , X ) ges ofta topologin för en boll med liten radie centrerad vid v ; det är en analog till en sfär centrerad i en punkt.

Länk till ett ansikte

Definitionen av en länk kan utökas från en enda vertex till vilken yta som helst.

Givet ett abstrakt förenklat komplex X och valfritt ansikte ${\textstyle \sigma }$ av X , är dess länk ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ en uppsättning som innehåller varje ansikte ${\textstyle \tau \in X}$ så att ${\textstyle \sigma ,\tau }$ är disjunkta och ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ är ett ansikte av X : ${\textstyle \operatornamn {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$ .

Givet ett geometriskt förenklat komplex X och valfri yta ${\textstyle \sigma \in X}$ , är dess länk ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ en mängd som innehåller varje ansikte ${\textstyle \tau \in X}$ så att ${\textstyle \sigma ,\tau }$ är disjunkta och det finns en simplex i ${\textstyle X}$ som har både ${\textstyle v }$ och ${\textstyle \tau }$ som ansikten.

Exempel

Länken till en vertex av en tetraeder är en triangel – länkens tre hörn motsvarar de tre kanterna som faller in mot vertexen, och de tre kanterna på länken motsvarar de ytor som faller in mot vertexen. I detta exempel kan länken visualiseras genom att skära av vertexet med ett plan; formellt korsar tetraedern med ett plan nära vertexet – det resulterande tvärsnittet är länken.

Ett annat exempel illustreras nedan. Det finns ett tvådimensionellt förenklat komplex. Till vänster är en vertex markerad med gult. Till höger är länken till det hörnet markerad med grönt.

• 

  En vertex och dess länk .

Egenskaper

• För varje förenklat komplex X , är varje länk ${\textstyle \operatornamn {Lk} (\sigma ,X)}$ nedåtstängd, och därför är det också ett förenklat komplex; det är ett subkomplex av X .
• Eftersom X är enkel, finns det en mängd isomorfism mellan ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$ och mängden ${\displaystyle X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ så att }}\sigma \subseteq \rho \}} : varje τ ∈ Lk$ ⁡ $tau \in \operatörsnamn {Lk} (\sigma ,X)}$ motsvarar ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ , vilket är i $X_{\sigma }$ .

Länk och stjärna

Ett begrepp som är nära relaterat till länken är stjärnan .

Givet ett abstrakt förenklat komplex X och valfritt ansikte ${\textstyle \sigma \in X}$ , ${\textstyle V(X)}$ , dess stjärna ${\textstyle \operatorname { St} (\sigma ,X)}$ är en mängd som innehåller varje yta ${\textstyle \tau \in X}$ så att ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ är en yta av X . I specialfallet där X är ett 1-dimensionellt komplex (det vill säga: en graf ), innehåller ${\textstyle \operatornamn {St} (v,X)}$ alla kanter ${\textstyle \{u,v\}}$ för alla hörn ${\textstyle u}$ som är grannar till ${\textstyle v}$ . Det vill säga, det är en grafteoretisk stjärna centrerad vid ${\textstyle u}$ .

Givet ett geometriskt förenklat komplex X och valfri yta ${\textstyle \sigma \in X}$ , är dess stjärna ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$ en mängd som innehåller varje ansikte ${\textstyle \tau \in X}$ så att det finns ett simplex i ${\textstyle X}$ som har både ${\textstyle \sigma }$ och ${\textstyle \tau }$ som ytor: ${\textstyle \operatornamn {St} (\sigma ,X):=\{\tau \i X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ är ansikten på }}\rho \}}$ . Med andra ord, det är stängningen av mängden ${\textstil \{\rho \in X:\sigma {\text{ är ett ansikte av }}\rho \} }$ -- uppsättningen av förenklingar som har ${\textstil \sigma }$ som ett ansikte.

Så länken är en delmängd av stjärnan. Stjärnan och länken är relaterade enligt följande:

• För alla ${\textstyle \sigma \in X}$ , ${\textstyle \operatornamn {Lk} (\ sigma ,X)=\{\tau \in \operatörsnamn {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$ .
• För alla ${\textstyle v\in V(X)}$ , ${\textstyle \operatorname {St} (v,X) =v\star \operatorname {Lk} (v,X)} ,$ det vill säga stjärnan i ${\textstyle v}$ är konen av dess länk vid ${\textstyle v}$ .

Ett exempel illustreras nedan. Det finns ett tvådimensionellt förenklat komplex. Till vänster är en vertex markerad med gult. Till höger är stjärnan i det hörnet markerad med grönt.

• 

  En vertex och dess stjärna .

Se även

• Vertex figur - ett geometriskt koncept som liknar den enkla länken.