Schreiers förfiningsteorem

Inom matematiken säger Schreiers förfiningsteorem för gruppteorin att två subnormala serier av undergrupper i en given grupp har ekvivalenta förfinningar, där två serier är ekvivalenta om det finns en bijektion mellan deras faktorgrupper som skickar varje faktorgrupp till en isomorf .

Satsen är uppkallad efter den österrikiske matematikern Otto Schreier som bevisade den 1928. Den ger ett elegant bevis på Jordan–Hölders sats . Det bevisas ofta med Zassenhaus-lemma . Baumslag (2006) ger ett kort bevis genom att skära termerna i en subnormalserie med termerna i den andra serien.

Exempel

Betrakta ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times S_{3}} ,$ där $S_{3}$ är den symmetriska gruppen av grad 3 . Den alternerande gruppen $A_{3}$ är en normal undergrupp av ${\displaystyle S_{3}} ,$ så vi har de två subnormalserierna

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb { Z} _{2}\ gånger \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\ gånger S_{3},$

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\ mathbb {Z} _{2}\ gånger S_{3},$

med respektive faktorgrupper $(\mathbb {Z} _{2},S_{3})$ och $(A_{3} ,\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})$ . De två subnormala serierna är inte likvärdiga, men de har motsvarande förfining:

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb { Z} _{2}\ gånger S_{3}$

med faktorgrupper som är isomorfa till $(\mathbb {Z} _{2},A_{3},\mathbb {Z} _{2})$ och

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\ {0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{0\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}$

med faktorgrupper som är isomorfa till $(A_{3},\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{2})$ .

•   Baumslag, Benjamin (2006), "A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier theorem", American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307/27642092 , JSTOR 27642092