Ray klass fält

I matematik är ett strålklassfält en abelsk förlängning av ett globalt fält som är associerat med en strålklassgrupp av idealklasser eller ideleklasser . Varje finit abelsk förlängning av ett talfält finns i ett av dess strålklassfält.

Termen "stråleklassgrupp" är en översättning av den tyska termen "Strahlklassengruppe". Här är "Strahl" det tyska för en stråle, och betyder ofta den positiva reallinjen, som uppträder i positivitetsförhållandena som definierar strålklassgrupper. Hasse (1926 , s.6) använder "Strahl" för att betyda en viss grupp av ideal definierade med hjälp av positivitetsvillkor, och använder "Strahlklasse" för att betyda en grupp av denna grupp.

Det finns två lite olika föreställningar om vad ett strålklassfält är, eftersom författarna skiljer sig åt i hur de oändliga primtalen behandlas.

Historia

Weber introducerade strålklassgrupper 1897. Takagi bevisade förekomsten av motsvarande strålklassfält omkring 1920. Chevalley omformulerade definitionen av strålklassgrupper i termer av ideles 1933.

Strålklassfält med ideal

Om m är ett ideal för ringen av heltal i ett talfält K och S är en delmängd av de reella platserna, då är strålklassgruppen för m och S kvotgruppen

I^{m}/P^{m}\,

där I ^m är gruppen av bråksideal som samprimeras till m , och "strålen" P ^m är gruppen av huvudideal som genereras av element a med en ≡ 1 mod m som är positiva på platserna för S . När S består av alla reella platser, så att a begränsas till att vara totalt positiv, kallas gruppen den smala strålklassgruppen m . Vissa författare använder termen "stråleklassgrupp" för att betyda "smal strålklassgrupp".

Ett strålklassfält av K är den abelska förlängningen av K associerad med en strålklassgrupp genom klassfältteori, och dess Galois-grupp är isomorf till motsvarande strålklassgrupp. Beviset på existensen av ett strålklassfält för en given strålklassgrupp är långt och indirekt och det finns i allmänhet inget känt enkelt sätt att konstruera det (även om explicita konstruktioner är kända i vissa speciella fall som imaginära kvadratiska fält).

Strålklassfält med ideles

Chevalley omdefinierade strålklassgruppen för en ideal m och en uppsättning S av verkliga platser som kvoten av idele-klassgruppen efter bild av gruppen

\prod U_{p}\,

där U _p ges av:

De komplexa talen som inte är noll för en komplex plats p
De positiva reella talen för en reell plats p i S , och alla reella tal som inte är noll för p inte i S
Enheterna för K _p för en ändlig plats p som inte delar m
Enheterna för K _p kongruenta med 1 mod p ⁿ om p ⁿ är den maximala potensen av p dividerande m .

Vissa författare använder en mer allmän definition, där gruppen Up tillåts vara alla reella tal som inte är noll för vissa reella platser p _.

Strålklassgrupperna som definieras med hjälp av idele är naturligt isomorfa till de som definieras med hjälp av ideal. De är ibland lättare att hantera teoretiskt eftersom de alla är kvoter av en enda grupp, och därmed lättare att jämföra.

Strålklassfältet för en strålklassgrupp är den (unika) abelska förlängningen L av K så att normen för idele-klassgruppen C _L till L är bilden av $\prod U_{p}\,$ i idele-klassgruppen i K .

Exempel

Om K är fältet för rationella tal , m är ett rationellt heltal som inte är noll, och S omfattar den arkimediska platsen för K , då är strålklassgruppen av ( m ) och S isomorf till gruppen av enheter av Z / m Z , och strålklassfältet är det fält som genereras av enhetens m: te rötter . Strålklassfältet för ( m ) och den tomma uppsättningen platser är dess maximala totalt reella delfält -- fältet $\mathbb {Q} (\cos({\frac { 2\pi }{m}}))$ .

Hilbert -klassfältet är det strålklassfält som motsvarar enhetsidealet och den tomma uppsättningen av verkliga platser, så det är det minsta strålklassfältet. Det smala Hilbert-klassfältet är det strålklassfält som motsvarar enhetsidealet och mängden av alla verkliga platser, så det är det minsta smala strålklassfältet.

Hasse, Helmut (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper." , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , Göttingen: Teubner, 35
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraiska Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .