Eisenstein ömsesidighet

I algebraisk talteori är Eisensteins ömsesidighetslag en ömsesidighetslag som utvidgar lagen om kvadratisk ömsesidighet och lagen om kubisk ömsesidighet till rester av högre makter. Det är en av de tidigaste och enklaste av de högre ömsesidighetslagarna och är en följd av flera senare och starkare ömsesidighetslagar som Artin ömsesidighetslagar . Det introducerades av Eisenstein ( 1850 ), även om Jacobi tidigare hade meddelat (utan bevis) ett liknande resultat för specialfallen av 5:e, 8:e och 12:e makten 1839.

Bakgrund och notation

Låt $m>1$ vara ett heltal, och låt ${\mathcal {O}}_{m}$ vara ringen av heltal i det m -:te cyklotomiska fältet $\mathbb {Q} (\zeta _{m}),$ där $\zeta _{m}=e^{2\pi i{\frac {1}{m}}}$ är en primitiv m -te rot av enhet .

Siffrorna $\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \zeta _{m}^{m}=1$ är enheter i ${\mathcal {O}}_{m}.$ (Det finns andra enheter också.)

Primärtal

Ett tal $\alpha \in {\mathcal {O}}_{m}$ kallas primärt om det inte är en enhet , är relativt primtalt till $m$ , och är kongruent till ett rationellt (dvs i $\mathbb {Z}$ ) heltal ${\pmod {(1-\zeta _{m})^{2}}}.$

Följande lemma visar att primära tal i ${\mathcal {O}}_{m}$ är analoga med positiva heltal i $\mathbb {Z} .$

Antag att $\alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m}$ och att både $\alpha$ och $\beta$ är relativt prime till $m.$ Sedan

Det finns ett heltal $c$ som gör $\zeta _{m}^{c}\alpha$ primär. Detta heltal är unikt ${\pmod {m}}.$
om $\alpha$ och $\beta$ är primära så är $\alpha \pm \beta$ primär, förutsatt att $\alpha \pm \beta$ är coprime med $m$ .
om $\alpha$ och $\beta$ är primära så är $\alpha \beta$ primär.
$\alpha ^{m}$ är primär.

Betydelsen av $1-\zeta _{m}$ som förekommer i definitionen är lättast att se när $m=l$ är ett primtal. I så fall $l=(1-\zeta _{l})(1-\zeta _{l}^{2})\dots (1-\zeta _{l}^{l-1}).$ Dessutom , primidealet $(l)$ för $\mathbb {Z}$ är totalt förgrenat i $\mathbb {Q} (\zeta _{l})$

$(l)=(1-\zeta _{l})^{l-1},$

och idealet $(1-\zeta _{l})$ är primtal av grad 1.

m -te effektrestsymbol

För $\alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m},$ den m -:te potensrestsymbolen för ${\mathcal {O} }_{m}$ är antingen noll eller en m -te rot av enhet:

\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}={\begin{cases}\zeta {\mbox{ där }}\zeta ^{m}=1&{ \mbox{ if }}\alpha {\mbox{ och }}\beta {\mbox{ är relativt primtal}}\\0&{\mbox{ annars}}.\\\end{cases}}

Det är den m -:te potensversionen av den klassiska (kvadratiska, m = 2) Jacobi-symbolen (förutsatt att $\alpha$ och $\beta$ är relativt primtal):

Om $\eta \in {\mathcal {O}}_{m}$ och $\alpha \equiv \eta ^{m}{\pmod { \beta }}$ sedan $\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1.$
Om ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}\neq 1} så är$ α $\displaystyle \alpha }$ inte en m - e potens ${\pmod {\beta }}.$
Om ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1} så kan$ α {\displaystyle \alpha } vara eller inte $en$ m -te potens ${\pmod {\beta }}.$

Uttalande av satsen

Låt $m\in \mathbb {Z}$ vara ett udda primtal och $a\in \mathbb {Z}$ ett heltal relativt primtal till $m.$ Sedan

Första tillägget

\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\zeta _{m}^{\frac {a^{m-1}-1} {m}}.

Andra tillägget

\left({\frac {1-\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\ höger)_{m}^{\frac {m+1}{2}}.

Eisenstein ömsesidighet

Låt $\alpha \in {\mathcal {O}}_{m}$ vara primär (och därför relativt primtal till $m$ ), och antag att $\alpha$ är också relativt prime till $a$ . Sedan

\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{m}=\left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{m}.

Bevis

Satsen är en konsekvens av Stickelbergerrelationen .

Weil (1975) ger en historisk diskussion om några tidiga ömsesidighetslagar, inklusive ett bevis för Eisensteins lag med hjälp av Gauss och Jacobis summor som är baserat på Eisensteins ursprungliga bevis.

Generalisering

År 1922 bevisade Takagi att om $K\supset \mathbb {Q} (\zeta _{l})$ är ett godtyckligt algebraiskt talfält som innehåller de $l$ -th rötterna av enhet för ett primtal $l$ , då gäller Eisensteins lag för $l$ -te potenser i $K.$

Ansökningar

Första fallet av Fermats sista sats

Antag att $p$ är ett udda primtal, att $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;\;$ för parvis relativt primtal heltal (dvs i $\mathbb {Z}$ ) $x,y,z$ och att $p\nmid xyz.\;\;$

Detta är det första fallet av Fermats sista teorem . (Det andra fallet är när $p\mid xyz.\;$ ) Eisenstein reciprocitet kan användas för att bevisa följande satser

(Wieferich 1909) Under ovanstående antaganden, $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.\;\;$

De enda primtal under 6,7×10 ¹⁵ som uppfyller detta är 1093 och 3511. Se Wieferich primtal för detaljer och aktuella rekord.

(Mirimanoff 1911) Under ovanstående antaganden $3^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

Analoga resultat är sanna för alla primtal ≤ 113, men beviset använder inte Eisensteins lag. Se Wieferich prime#Connection with Fermats Last Theorem .

(Furtwängler 1912) Under ovanstående antaganden, för varje primtal $r\mid x,\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

(Furtwängler 1912) Under ovanstående antaganden, för varje primtal $r\mid (xy),\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

(Vandiver) Under ovanstående antaganden, om dessutom $p>3,$ så $x^{p}\equiv x,\;y^{ p}\equiv y$ och $z^{p}\equiv z{\pmod {p^{3}}}.$

Styr mod de flesta primtal

Eisensteins lag kan användas för att bevisa följande teorem (Trost, Ankeny , Rogers ). Antag att $a\in \mathbb {Z}$ och att $l\nmid a$ där $l$ är ett udda primtal. Om $x^{l}\equiv a{\pmod {p}}$ är lösbar för alla utom ändligt många primtal $p$ så är $a=b^{l}.$

Se även

Anteckningar

Eisenstein, Gotthold (1850), "Beweis der allgemeinsten Reciprocitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen", Verhandlungen der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin ( på tyska): 189–198, Omtryckt i Mathematische Werke, volym 2, sidorna 712–72
Irland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (andra upplagan) , New York: Springer Science+Business Media , ISBN 0-387-97329-X

Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein , Berlin: Springer Science+Business Media , ISBN 3-540-66957-4

Weil, André (1975), "La cyclotomie jadis et naguère", Séminaire Bourbaki, Vol. . 1973/1974, 26ème année, Exp. nr 452 , Lecture Notes in Math, vol. 431, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 318–338, MR 0432517