Alternerad hexagonal kakel honeycomb

Alternerad hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact uniform honeycomb Halvregelbunden honeycomb
Schläfli symboler	h{6,3,3} s{3,6,3} 2s{6,3,6} 2s{6,3 ^[3] } s{3 ^[3,3] }
Coxeter diagram	↔ ↔ ↔ ↔
Celler	{3,3} {3 ^[3] }
Ansikten	triangel {3}
Vertex figur	stympad tetraeder
Coxeter grupper	${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3] ] 1/2 ${\overline {V}}_{3}$ , [ 6,3,3] 1/2 ${\overline {Y}}_{3}$ , [3,6,3] 1/2 ${\overline {Z} }_{3}$ , [6,3,6] 1/2 ${\overline {VP}}_{3}$ , [6,3 ^[3] ] 1/2 ${\overline {PP}}_{3}$ , [3 ^[3,3] ]
Egenskaper	Vertextransitiv, kanttransitiv, kvasiregelbunden

I tredimensionell hyperbolisk geometri är den alternerade hexagonala bikakan , h{6,3,3}, eller , en halvregelbunden tessellation med tetraeder och triangulära kakelceller arrangerade i en oktaederformad vertexfigur . Den är uppkallad efter sin konstruktion, som en ändring av en hexagonal bikaka med kakel .

En geometrisk bikaka är en rymdfyllning av polyedriska eller högre dimensionella celler , så att det inte finns några luckor. Det är ett exempel på den mer allmänna matematiska plattsättningen eller tessellationen i valfritt antal dimensioner.

Bikakor konstrueras vanligtvis i vanligt euklidiskt ("platt") utrymme, som de konvexa enhetliga bikakorna . De kan också konstrueras i icke-euklidiska utrymmen , såsom hyperboliska enhetliga honeycombs . Vilken ändlig enhetlig polytop som helst kan projiceras till sin omkrets för att bilda en enhetlig bikaka i sfäriskt utrymme.

Symmetrikonstruktioner

Undergruppsrelationer

Den har fem alternerade konstruktioner från reflekterande Coxeter-grupper, alla med fyra speglar och endast den första är regelbunden: [6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], [6,3 ^{[3] ]} ] och [3 ^[3,3] ] , med 1, 4, 6, 12 respektive 24 gånger större fundamentala domäner . I Coxeter notationsundergruppsuppmärkningar är de relaterade som: [6,(3,3) ^* ] (ta bort 3 speglar, index 24 undergrupp); [3,6,3 ^* ] eller [3 ^* ,6,3] (ta bort 2 speglar, index 6 undergrupp); [1 ⁺ ,6,3,6,1 ⁺ ] (ta bort två ortogonala speglar, undergrupp index 4); alla dessa är isomorfa till [3 ^[3,3] ]. De ringade Coxeter-diagrammen är , , , och , som representerar olika typer (färger) av hexagonala plattsättningar i Wythoff-konstruktionen .

Relaterade honungskakor

Den alternerade hexagonala bikakan har 3 besläktade former: den cantic hexagonala brickan honeycomb , ; den runka hexagonala kakelplattan , ; och den runcicantic hexagonala kakel honeycomb , .

Cantic hexagonal kakel honeycomb

Cantic hexagonal kakel honeycomb
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	h ₂ {6,3,3}
Coxeter diagram	↔
Celler	r{3,3} t{3,3} h ₂ {6,3}
Ansikten	triangel {3} sexkant {6}
Vertex figur	kil
Coxeter grupper	${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den kantiska hexagonala bikakan , h ₂ { 6,3,3}, eller , är sammansatt av oktaeder , stympad tetraeder och trihexagonala kakelfasetter, med en kilpunktsfigur .

Runcic hexagonalt kakel bikaka

Runcic hexagonalt kakel bikaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	h ₃ {6,3,3}
Coxeter diagram	↔
Celler	{3,3} {}x{3} rr{3,3} {3 ^[3] }
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6}
Vertex figur	trekantig kupol
Coxeter grupper	${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runkiska hexagonala bikakan , h ₃ {6,3,3}, eller , har tetraeder , triangulära prisma , cuboctahedron och triangulära kakelfasetter, med en triangulär kupolvertexfigur .

Runcicantic hexagonal kakel honungskaka

Runcicantic hexagonal kakel honungskaka
Typ	Paracompact enhetlig honeycomb
Schläfli symboler	h _2,3 {6,3,3}
Coxeter diagram	↔
Celler	t{3,3} {}x{3} tr{3,3} h ₂ {6,3}
Ansikten	triangel {3} kvadrat {4} sexkant {6}
Vertex figur	rektangulär pyramid
Coxeter grupper	${\overline {P}}_{3}$ , [3,3 ^[3] ]
Egenskaper	Vertex-transitiv

Den runcicantic hexagonala kakel honeycomb , h _2,3 {6,3,3}, eller , har trunkerade tetrahedron , triangulära prisma , trunkerade oktaeder , och trihexagonala kakel fasetter, med en rektangulär pyramid vertex figur .

Se även

Coxeter , Regular Polytopes , 3:a. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabell I och II: Vanliga polytoper och honeycombs, s. 294–296)
The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Kapitel 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space ) Tabell III
Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2:a upplagan ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitel 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex , Transformation Groups (1999), Volym 4, Issue 4, s 329–353 [ 1] [2]
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups , (2002) H ³ : p130. [3]