On shell renormaliseringsschema

Inom kvantfältteorin , och speciellt inom kvantelektrodynamik , leder den samverkande teorin till oändliga storheter som måste absorberas i en renormaliseringsprocedur , för att kunna förutsäga mätbara storheter. Renormaliseringsschemat kan bero på vilken typ av partiklar som övervägs. För partiklar som kan färdas asymptotiskt stora avstånd, eller för lågenergiprocesser, är schemat på skalet, även känt som det fysiska schemat, lämpligt. Om dessa villkor inte är uppfyllda kan man vända sig till andra scheman, såsom minimal subtraktion schema ( MS schema).

Fermionpropagator i den interagerande teorin

Att känna till de olika propagatorerna är grunden för att kunna beräkna Feynman-diagram som är användbara verktyg för att förutsäga till exempel resultatet av spridningsexperiment. I en teori där det enda fältet är Dirac-fältet läser Feynman-propagatorn

$\langle 0|T(\psi (x){\bar { \psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac { dvs^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}$

där $T$ är tidsbeställningsoperatorn , $|0\rangle$ vakuumet i den icke-interagerande teorin, $\psi (x)$ och ${\bar {\psi }}(x)$ Dirac-fältet och dess Dirac-adjoint, och där den vänstra sidan av ekvationen är Dirac-fältets tvåpunktskorrelationsfunktion .

I en ny teori kan Dirac-fältet interagera med ett annat fält, till exempel med det elektromagnetiska fältet i kvantelektrodynamik, och styrkan i interaktionen mäts med en parameter, i fallet med QED är det den blotta elektronladdningen, ${ \displaystyle e}$ . Den allmänna formen av propagatorn bör förbli oförändrad, vilket innebär att om $|\Omega \rangle$ representerar nu vakuumet i den interagerande teorin, tvåpunktskorrelationsfunktionen skulle nu läsas

$\langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip \cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}$

Två nya kvantiteter har införts. Först har den renormaliserade massan $m_{r}$ definierats som polen i Fouriertransformen av Feynman-propagatorn. Detta är huvudreceptet för renormaliseringsschemat på skalet (det finns då inget behov av att införa andra massskalor som i minimalsubtraktionsschemat). Kvantiteten $Z_{2}$ representerar den nya styrkan hos Dirac-fältet. Eftersom interaktionen vrids ner till noll genom att låta $e\rightarrow 0$ , bör dessa nya parametrar tendera till ett värde för att återvinna propagatorn för den fria fermionen, nämligen $m_{ r}\rightarrow m$ och $Z_{2}\rightarrow 1$ .

Detta innebär att $m_{r}$ och $Z_{2}$ kan definieras som en serie i $e$ om denna parameter är tillräckligt liten (i enhetssystemet där $\hbar =c=1$ , $e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0,3$ , där $\alpha$ är finstrukturkonstanten ). Dessa parametrar kan alltså uttryckas som

$Z_{2}=1+\delta _{2}$

$m_{r}=m+\delta m$

Å andra sidan kan modifieringen av propagatorn beräknas upp till en viss ordning i $e$ med hjälp av Feynman-diagram. Dessa modifieringar sammanfattas i fermions självenergi $\Sigma (p)$

$\langle \Omega |T(\psi (x){\bar { \psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}$

Dessa korrigeringar är ofta divergerande eftersom de innehåller loopar . Genom att identifiera de två uttrycken för korrelationsfunktionen upp till en viss ordning i $e$ kan mottermerna definieras och de kommer att absorbera de divergerande bidragen från korrektionerna till fermionförökaren. Således kommer de renormaliserade storheterna, såsom ${\displaystyle m_{r}},$ att förbli ändliga och kommer att vara de kvantiteter som mäts i experiment.

Fotonpropagator

Precis som vad som har gjorts med fermionpropagatorn kommer formen på fotonpropagatorn inspirerad av det fria fotonfältet att jämföras med fotonpropagatorn beräknad upp till en viss ordning i e {\displaystyle e} $den$ interagerande teorin. Fotonens självenergi noteras $\Pi (q^{2})$ och den metriska tensorn $\eta ^{\mu \nu }$ (här tar +- -- konvention)

$\langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle = \int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}} {q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}} }{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}$

Beteendet för mottermen $\delta _{3}=Z_{3}-1$ är oberoende av rörelsemängden hos den inkommande fotonen $q$ . För att fixa det, används beteendet hos QED på stora avstånd (vilket borde hjälpa till att återställa klassisk elektrodynamik ), dvs. när ${\displaystyle q^{2}\rightarrow 0} :$

${\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i \eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}$

Mottermen $\delta _{3}$ är alltså fixerad med värdet av $\Pi (0)$ .

Vertex funktion

Ett liknande resonemang som använder vertexfunktionen leder till renormalisering av den elektriska laddningen $e_{r}$ . Denna renormalisering och fixeringen av renormaliseringstermer görs med hjälp av vad som är känt från klassisk elektrodynamik på stora rymdskalor. Detta leder till värdet av mottermen ${\displaystyle \delta _{1}} ,$ som i själva verket är lika med $\delta _{2}$ på grund av Ward–Takahashi-identiteten . Det är denna beräkning som står för det anomala magnetiska dipolmomentet för fermioner.

Omskalning av QED Lagrangian

Vi har övervägt några proportionalitetsfaktorer (som $Z_{i}$ ) som har definierats från formen av propagatorn. Men de kan också definieras från QED Lagrangian, vilket kommer att göras i detta avsnitt, och dessa definitioner är likvärdiga. Lagrangian som beskriver kvantelektrodynamikens fysik är

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{ 4}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\ psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$

där $F_{\mu \nu }$ är fältstyrketensorn , $\psi$ är Dirac-spinorn (den relativistiska motsvarigheten till vågfunktionen ) , och $A$ den elektromagnetiska fyra-potential . Teorins parametrar är $\psi$ , $A$ , $m$ och $e$ . Dessa kvantiteter råkar vara oändliga på grund av loopkorrigeringar (se nedan). Man kan definiera de renormaliserade storheterna (som kommer att vara ändliga och observerbara):

$\psi ={\sqrt {Z_{2 }}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r }+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\ ;\;\;\;{\text{med}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}$

δ $\delta _{i}$ kallas mottermer (vissa andra definitioner av dem är möjliga) De ska vara små i parametern $e$ . Lagrangian läser nu i termer av renormaliserade kvantiteter (till första ordningen i mottermerna):

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \ nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi } }_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{ \mu ,r}$

Ett renormaliseringsrecept är en uppsättning regler som beskriver vilken del av avvikelserna som ska finnas i de renormaliserade kvantiteterna och vilka delar som ska finnas i motvillkoren. Receptet bygger ofta på teorin om fria fält, det vill säga beteendet hos $\psi$ och $A$ när de inte interagerar (vilket motsvarar att ta bort termen $e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$ i lagrangian).

• M. Peskin; D. Schroeder (1995). En introduktion till kvantfältteori . Läsning: Addison-Weasley.
• M. Srednicki. Kvantfältteori .
• T. Gehrmann. Kvantfältteori 1 .