Ramanujan summering

Ej att förväxla med Ramanujans summa .

Ytterligare information: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Ramanujan summering är en teknik som uppfanns av matematikern Srinivasa Ramanujan för att tilldela ett värde till divergerande oändliga serier . Även om Ramanujans summering av en divergerande serie inte är en summa i traditionell mening, har den egenskaper som gör den matematiskt användbar i studiet av divergerande oändliga serier , för vilka konventionell summering är odefinierad.

Summering

Eftersom det inte finns några egenskaper för en hel summa, fungerar Ramanujan-summan som en egenskap för delsummor. Om vi ​​tar Euler–Maclaurins summationsformel tillsammans med korrigeringsregeln med Bernoulli-tal ser vi att:

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\summa _{k=1 }^{n-1}f(k)\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\summa _{k=1}^{p}{\frac {B_{ k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned }}$

Ramanujan skrev det för fallet p going to infinity:

$\sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{a}^{x}f(t)\,dt+{\ frac {1}{2}}f(x)+\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1) }(x)$

där C är en konstant specifik för serien och dess analytiska fortsättning och gränserna för integralen specificerades inte av Ramanujan, men antagligen var de enligt ovan. Genom att jämföra båda formlerna och anta att R tenderar till 0 eftersom x tenderar till oändlighet, ser vi att i ett allmänt fall för funktioner f ( x ) utan divergens vid x = 0:

$C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)- \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)$

där Ramanujan antog $a=0.$ Genom att ta $a=\infty$ återställer vi normalt den vanliga summeringen för konvergenta serier. För funktioner f ( x ) utan divergens vid x = 1 får vi:

$C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)- \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)$

C (0) föreslogs sedan att använda som summan av den divergerande sekvensen. Det är som en bro mellan summering och integration.

Den konvergenta versionen av summering för funktioner med lämpliga tillväxtvillkor är då :

$f (1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f( it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt$

För att jämföra, se Abel–Planas formel.

Summan av divergerande serier

I följande text indikerar $({\mathfrak {R}})$ "Ramanujan summering". Denna formel dök ursprungligen upp i en av Ramanujans anteckningsböcker, utan någon notering som indikerar att den exemplifierade en ny metod för summering.

Till exempel är $({\mathfrak {R}})$ för 1 − 1 + 1 − ⋯ :

$1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).$

Ramanujan hade beräknat "summor" av kända divergerande serier. Det är viktigt att nämna att Ramanujan-summorna inte är summorna av serien i vanlig mening, dvs delsummorna konvergerar inte till detta värde, vilket betecknas med symbolen $({\mathfrak {R}}).$ Speciellt $({\mathfrak {R}})$ summan av 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ beräknades som:

$1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})$

Utvidgad till positiva jämna krafter gav detta:

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})$

och för udda makter föreslog tillvägagångssättet ett samband med Bernoulli-talen :

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =- {\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})$

Det har föreslagits att använda C (1) snarare än C (0) som ett resultat av Ramanujans summering, sedan dess kan det garanteras att en serie $\textstyle \sum _ {k=1}^{\infty }f(k)$ medger en och endast en Ramanujans summering, definierad som värdet i 1 av den enda lösningen av differensekvationen $R(x)-R(x+1)=f(x)$ som verifierar villkoret $\textstyle \int _{1}^{ 2}R(t)\,dt=0$ .

Denna demonstration av Ramanujans summering (betecknad som Misslyckades att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via webbläsarplugin): Ogiltigt svar ("Math-tillägget kan inte ansluta till Restbase.") från servern "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \textstyle\sum_{n \ge 1}^{\mathfrak{R}} f(n)} ) sammanfaller inte med den tidigare definierade Ramanujans summering, C (0), och inte heller med summeringen av konvergenta serier, men den har intressanta egenskaper, såsom: Om R ( x ) tenderar till en ändlig gräns när x → 1, då serien $\textstyle \sum _{n\geq 1} ^{\mathfrak {R}}f(n)$ är konvergent, och det har vi

$\sum _{n\geq 1}^{\ mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N} f(t)\,dt\right]$

Vi har särskilt:

$\sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma$

där γ är Euler-Mascheroni-konstanten .

Förlängning till integraler

Återupptagandet av Ramanujan kan utökas till integraler; till exempel kan man skriva med Euler-Maclaurins summationsformel

${\begin{aligned}\int _{a}^{ \infty }x^{ms}\,dx&={\frac {ms}{2}}\int _{a}^{\infty }x^{m-1-s}\,dx+\zeta (sm) -\sum _{i=1}^{a}\left[i^{ms}+a^{ms}\right]\\&\qquad -\sum _{r=1}^{\infty }{ \frac {B_{2r}\theta (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int _{a} ^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{aligned}}$

vilket är den naturliga förlängningen till integraler av Zeta-regulariseringsalgoritmen.

Denna återkommande ekvation är ändlig, eftersom för $m-2r<-1$ ,

$\int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}.$

Observera att detta involverar (se zeta-funktionsregularisering )

$I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}$ .

Med $\Lambda \to \infty$ , ger tillämpningen av denna Ramanujan-resumation ändliga resultat i åternormaliseringen av kvantfältsteorier .

Se även

• Borel summering
• Cesàro summering
• Divergerande serie
• Ramanujans summa