Hadamard-regularisering

Inom matematiken är Hadamard-regularisering (även kallad Hadamard finita del eller Hadamards parti finie ) en metod för att regularisera divergerande integraler genom att ta bort några divergerande termer och behålla den finita delen, introducerad av Hadamard ( 1923 , bok III, kapitel I, 1932 ). Riesz ( 1938 , 1949 ) visade att detta kan tolkas som att man tar den meromorfa fortsättningen av en konvergent integral.

Om Cauchy huvudvärde integralen

$${\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)} {tx}}\,dt\quad ({\text{för }}a<x<b)$$

existerar, då kan den differentieras med avseende på x för att erhålla Hadamard finita delintegralen enligt följande:

$${\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{tx}}\,dt\ höger)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt\quad ({\text{för }}a<x<b).$$

Observera att symbolerna ${\mathcal {C}}$ och ${\mathcal {H}}$ används här för att beteckna Cauchy-huvudvärde respektive Hadamard-finita-del-integraler.

Hadamard finita delintegralen ovan (för a < x < b ) kan också ges av följande ekvivalenta definitioner:

$${\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f( t)}{(tx)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\ frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}} }\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},$$

$${\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \ till 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(tx)^{2}f(t)}{((tx)^{2}+\varepsilon ^ {2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\ frac {1}{bx}}-{\frac {1}{ax}}\right)\right\}.$$

Definitionerna ovan kan härledas genom att anta att funktionen f ( t ) är differentierbar oändligt många gånger vid t = x för a < x < b , det vill säga genom att anta att f ( t ) kan representeras av dess Taylor-serie om t = x . För detaljer, se Ang ( 2013 ). (Observera att termen − f ( x ) / 2 ( 1 / b − x − 1 / a − x ) i den andra ekvivalenta definitionen ovan saknas i Ang ( 2013 ) men detta är korrigerat i bokens erratablad. )

Integralekvationer som innehåller Hadamards finita delintegraler (med f ( t ) okänd) kallas hypersingulära integralekvationer. Hypersingulära integralekvationer uppstår vid formuleringen av många problem inom mekanik, såsom i frakturanalys.

•   Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis , Oxford: Woodhead Publishing , s. 19–24, ISBN 978-0-85709-479-7 .
• Ang, Whye-Teong, Errata-ark för Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis ( PDF) .
•     Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), "Hadamard regularization", Journal of Mathematical Physics , 41 (11): 7675–7714, arXiv : gr-qc/0004008 , Bibcode : 2000JMP....41.7675B , doi 1 : 301/601/0004008 . ISSN 0022-2488 , MR 1788597 , Zbl 0986.46024 .
•      Hadamard, Jacques (1923), Föreläsningar om Cauchys problem i linjära partiella differentialekvationer , Dover Phoenix-utgåvor, Dover Publications, New York, sid. 316, ISBN 978-0-486-49549-1 , JFM 49.0725.04 , MR 0051411 , Zbl 0049.34805 .
•   Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques ( på franska), Paris: Hermann & Cie., sid. 542, Zbl 0006.20501 .
•    Riesz, Marcel (1938), "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels." , Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hängde. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Matematik. ( Szeged ) (på franska), 9 (1–1): 1–42, JFM 64.0476.03 , Zbl 0018.40704 , arkiverad från originalet 2016-03-05 , hämtad 2012-06-22 .
•    Riesz, Marcel (1938), "Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels" " , Acta Litt . Ac Sient. Univ. Hängde. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Matematik. ( Szeged ) (på franska), 9 (2–2): 116–118, JFM 65.1272.03 , Zbl 0020.36402 , arkiverad från originalet 2016-03-04 , hämtad 2012-06-22 .
•     Riesz, Marcel ( 1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007 /BF02395016 , ISSN 0001-5020 0001-5022 , 301-5022 , 301 002 , 301 07 00 , 301