Icke-linjär akustik

Icke-linjäritet i ultraljudsvågutbredning genom vävnad vid större amplituder

Icke-linjär akustik (NLA) är en gren av fysik och akustik som hanterar ljudvågor med tillräckligt stora amplituder. Stora amplituder kräver användning av fullständiga system av styrande ekvationer av vätskedynamik (för ljudvågor i vätskor och gaser) och elasticitet (för ljudvågor i fasta ämnen). Dessa ekvationer är i allmänhet olinjära och deras traditionella linearisering är inte längre möjlig. Lösningarna av dessa ekvationer visar att, på grund av effekterna av olinjäritet , förvrängs ljudvågor när de färdas.

Introduktion

En ljudvåg fortplantar sig genom ett material som en lokal tryckförändring . Att öka trycket på en gas eller vätska ökar dess lokala temperatur. Den lokala ljudhastigheten i ett komprimerbart material ökar med temperaturen; som ett resultat, färdas vågen snabbare under högtrycksfasen av oscillationen än under lågtrycksfasen. Detta påverkar vågens frekvensstruktur; till exempel, i en initialt vanlig sinusformad våg med en enda frekvens, färdas vågens toppar snabbare än dalarna, och pulsen blir kumulativt mer som en sågtandsvåg . Med andra ord, vågen förvränger sig själv. Därvid introduceras andra frekvenskomponenter , som kan beskrivas av Fourier-serien. Detta fenomen är karakteristiskt för ett icke-linjärt system , eftersom ett linjärt akustiskt system endast reagerar på körfrekvensen. Detta inträffar alltid men effekterna av geometrisk spridning och av absorption övervinner vanligtvis självdistorsionen, så linjärt beteende råder vanligtvis och ickelinjär akustisk utbredning sker endast för mycket stora amplituder och endast nära källan.

Dessutom kommer vågor med olika amplituder att generera olika tryckgradienter, vilket bidrar till den olinjära effekten.

Fysisk analys

Tryckförändringarna inom ett medium gör att vågenergin överförs till högre övertoner. Eftersom dämpningen i allmänhet ökar med frekvensen, finns det en moteffekt som ändrar karaktären hos den olinjära effekten över avstånd. För att beskriva deras nivå av olinjäritet kan material ges en olinjäritetsparameter, $B/A$ . Värdena för $A$ och $B$ är koefficienterna för första och andra ordningens termer i Taylor-seriens expansion av ekvationen som relaterar materialets tryck till dess densitet. Taylor-serien har fler termer, och därmed fler koefficienter (C, D, ...) men de används sällan. Typiska värden för olinjäritetsparametern i biologiska medier visas i följande tabell.

Material	$B/A$
Blod	6.1
Hjärna	6.6
Fett	10
Lever	6.8
Muskel	7.4
Vatten	5.2
Monatomisk gas	0,67

I en vätska används vanligtvis en modifierad koefficient som kallas $\beta =1+{\frac {B}{2A}}$ .

Matematisk modell

Styrande ekvationer för att härleda Westervelts ekvation

Kontinuitet:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0$

Bevarande av momentum:

$\rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}} {\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right)+\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\ textbf {u}})$

med Taylor- störningsexpansion på densitet:

$\rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}$

där ε är en liten parameter, dvs störningsparametern, blir tillståndsekvationen:

$p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1 +\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)$

Om den andra termen i Taylorexpansionen av tryck sjunker, kan ekvationen för viskösa vågor härledas. Om den hålls, visas den olinjära termen i tryck i Westervelts ekvation.

Westervelts ekvation

Den allmänna vågekvationen som står för olinjäritet upp till andra ordningen ges av Westervelts ekvation

$\,\nabla ^{2}p-{ \frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta}{c_{0 }^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^ {4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}$

där $p$ är ljudtrycket, $c_{0}$ är den lilla signalens ljudhastighet, $\delta$ är ljuddiffusiviteten, $\beta$ är olinjäriteten koefficient och $\rho _{0}$ är den omgivande tätheten.

Ljudspridningsförmågan ges av

$\,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left( {\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{ v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)$

där $\mu$ är skjuvningsviskositeten, $\mu _{B}$ bulkviskositeten, $k$ värmeledningsförmågan, $c_{v}$ och $c_{p}$ den specifika värmen vid konstant volym respektive tryck.

Burgers ekvation

Se även: Burgers ekvation

Westerveltsekvationen kan förenklas för att ta en endimensionell form med ett antagande om strikt framåtriktade vågor och användningen av en koordinattransformation till en retarderad tidsram:

${\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta } {\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3} }}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}$

där $\tau =tz/c_{0}$ är försenad tid . Detta motsvarar en viskös Burgers ekvation:

${\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

i tryckfältet (y=p), med en matematisk "tidsvariabel":

$t'={\frac {z}{c_{0}}}$

och med en "rymdvariabel":

$x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau$

och en negativ diffusionskoefficient:

$d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta$ .

Burgers ekvation är den enklaste ekvationen som beskriver de kombinerade effekterna av olinjäritet och förluster på utbredningen av progressiva vågor.

KZK ekvation

En förstärkning till Burgers ekvation som står för de kombinerade effekterna av olinjäritet, diffraktion och absorption i riktade ljudstrålar beskrivs av Khokhlov–Zabolotskaya–Kuznetsov (KZK) ekvationen, uppkallad efter Rem Khokhlov, Evgenia Zabolot Kuznets och VP . Lösningar på denna ekvation används vanligtvis för att modellera olinjär akustik.

Om $z$ -axeln är i riktningen för ljudstrålens väg och ${\displaystyle (x,y)}-$ planet är vinkelrät mot detta, kan KZK-ekvationen skrivas

${\fradisplaystyle \,{\partial {2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_ {0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{ 0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

Ekvationen kan lösas för ett visst system med hjälp av ett ändligt differensschema . Sådana lösningar visar hur ljudstrålen förvrängs när den passerar genom ett olinjärt medium.

Vanliga händelser

Sonic boom

Atmosfärens olinjära beteende leder till förändring av vågformen i en ljudboom . Generellt gör detta bommen mer "skarp" eller plötslig, eftersom toppen med hög amplitud rör sig till vågfronten.

Akustisk levitation

Akustisk levitation skulle inte vara möjlig utan olinjära akustiska fenomen. De olinjära effekterna är särskilt tydliga på grund av de inblandade högeffekts akustiska vågorna.

Ultraljudsvågor

På grund av deras relativt höga amplitud till våglängdsförhållande uppvisar ultraljudsvågor vanligtvis icke-linjärt utbredningsbeteende . Till exempel är icke-linjär akustik ett intressefält för medicinsk ultraljud eftersom det kan utnyttjas för att producera bättre bildkvalitet.

Musikalisk akustik

Det fysiska beteendet hos musikalisk akustik är huvudsakligen olinjärt. Försök görs att modellera deras ljudgenerering från fysisk modelleringssyntes , efterlikna deras ljud från mätningar av deras olinjäritet.

Parametriska arrayer

En parametrisk array är en icke-linjär transduktionsmekanism som genererar smala, nästan sidolobfria strålar av lågfrekvent ljud, genom blandning och interaktion av högfrekventa ljudvågor. Tillämpningar är t.ex. inom undervattensakustik och ljud.

Se även

• Kavitation