Grassmann nummer

Inom matematisk fysik är ett Grassmann-tal , uppkallat efter Hermann Grassmann (även kallat ett antipendlingsnummer eller supernummer ), en del av den yttre algebra över de komplexa talen. Specialfallet med en 1-dimensionell algebra är känt som ett dubbeltal . Grassmann siffror såg en tidig användning i fysiken för att uttrycka en vägintegral representation för fermioniska fält , även om de nu ofta används som en grund för superrymden , på vilken supersymmetri är konstruerad.

Informell diskussion

Grassmann-nummer genereras av anti-pendlingselement eller objekt. Idén om objekt mot pendling uppstår inom flera områden av matematiken: de ses vanligtvis i differentialgeometri , där differentialformerna är anti-pendling. Differentialformer definieras normalt i termer av derivat på ett grenrör; dock kan man tänka på situationen där man "glömmer" eller "ignorerar" existensen av någon underliggande mångfald, och "glömmer" eller "ignorerar" att formerna definierades som derivat, och istället helt enkelt överväga en situation där man har föremål som motverkar pendling och har inga andra fördefinierade eller förmodade egenskaper. Sådana objekt bildar en algebra , och specifikt Grassmann-algebra eller yttre algebra.

Grassmann-talen är delar av den algebra. Benämningen "nummer" motiveras av det faktum att de beter sig inte olikt "vanliga" tal: de kan adderas, multipliceras och divideras: de beter sig nästan som ett fält . Mer kan göras: man kan överväga polynom av Grassmann-tal, vilket leder till idén om holomorfa funktioner . Man kan ta derivator av sådana funktioner, och sedan överväga anti-derivaten också. Var och en av dessa idéer kan definieras noggrant och överensstämmer någorlunda väl med motsvarande begrepp från vanlig matematik. Analogin stannar inte där: man har en hel gren av supermatematik , där analogen till det euklidiska rymden är superrymden , analogen till ett mångfaldigt är ett överrör , analogen till en Lie-algebra är en Lie-superalgebra och så vidare. Grassmann-talen är den underliggande konstruktionen som gör allt möjligt.

Naturligtvis kan man ägna sig åt ett liknande program för vilket annat område som helst, eller till och med ring , och detta görs verkligen allmänt och vanligt inom matematik. Men supermatematiken får en speciell betydelse i fysiken, eftersom anti-pendlingsbeteendet starkt kan identifieras med det kvantmekaniska beteendet hos fermioner: anti-kommuteringen är den av Pauli-uteslutningsprincipen . Således är studiet av Grassmann-tal, och av supermatematik i allmänhet, starkt driven av deras användbarhet i fysik.

Specifikt, i kvantfältteorin , eller mer snävt, andra kvantisering , arbetar man med stegoperatorer som skapar kvanttillstånd med flera partiklar. Stegoperatorerna för fermioner skapar fältkvanta som nödvändigtvis måste ha antisymmetriska vågfunktioner , eftersom detta är framtvingat av Paulis uteslutningsprincip. I denna situation motsvarar ett Grassmann-tal omedelbart och direkt en vågfunktion som innehåller något (typiskt obestämt) antal fermioner.

När antalet fermioner är fixerat och ändligt, ges ett explicit förhållande mellan antikommutationsrelationer och spinorer med hjälp av spingruppen . Denna grupp kan definieras som delmängden av enhetslängdsvektorer i Clifford-algebra , och faktoriseras naturligt till anti-pendlande Weyl-spinorer . Både anti-kommuteringen och uttrycket som spinorer uppstår på ett naturligt sätt för spin-gruppen. I grund och botten kan Grassmann-talen ses som att de kasserar de relationer som uppstår från spinn, och behåller endast relationerna på grund av anti-kommutering.

Allmän beskrivning och egenskaper

Grassmann-tal är individuella element eller punkter i den yttre algebra som genereras av en uppsättning av n Grassmann-variabler eller Grassmann-riktningar eller överladdningar ${\displaystyle \{\theta _{i}\}} ,$ där n möjligen är oändlig. Användningen av termen "Grassmann-variabler" är historisk; de är inte variabler i sig ; de förstås bättre som grundelementen i en enhetlig algebra . Terminologin kommer från det faktum att en primär användning är att definiera integraler, och att variabeln integration är Grassmann-värderad, och därför, genom missbruk av språk, kallas en Grassmann-variabel. På liknande sätt kommer begreppet riktning från begreppet superrymd , där det vanliga euklidiska rummet utökas med ytterligare Grassmann-värderade "riktningar". Benämningen laddning kommer från begreppet laddningar i fysiken , som motsvarar genereringarna av fysiska symmetrier (via Noethers sats) . Den upplevda symmetrin är att multiplikation med en enda Grassmann-variabel byter $\mathbb {Z} _{2}$ -graderingen mellan fermioner och bosoner; detta diskuteras mer i detalj nedan.

Grassmann-variablerna är basvektorerna för ett vektorrum (av dimensionen n ). De bildar en algebra över ett fält , med fältet som vanligtvis tas för att vara de komplexa numren , även om man kunde överväga andra fält, såsom reals. Algebra är en enhetlig algebra och generatorerna är anti-pendling:

$\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}$

Eftersom $\theta _{i}$ är element i ett vektorrum över de komplexa talen, pendlar de per definition med komplexa tal. Det vill säga för komplex x har man

$\theta _{i}x=x\theta _{i}.$

Generatorernas kvadrater försvinner:

$(\theta _{i})^{2}=0,$ eftersom $\theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.$

Med andra ord är en Grassmann-variabel en kvadratrot av noll som inte är noll.

Formell definition

Formellt, låt V vara ett n -dimensionellt komplext vektorrum med basen $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ . Grassmann-algebran vars Grassmann-variabler är $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ definieras som den yttre algebra för V , nämligen

$\Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \ cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{ 2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,$

där $\wedge$ är den yttre produkten och $\oplus$ är den direkta summan . De enskilda elementen i denna algebra kallas då Grassmann-tal . Det är standard att utelämna kilsymbolen $\wedge$ när du skriver ett Grassmann-nummer när definitionen är etablerad. Ett allmänt Grassmann-nummer kan skrivas som

$z=c_{0}+\ summa _{k=1}^{n}\summa _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}} \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},$

där $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})$ är strikt ökande k -tuplar med $1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k$ och $c_{i_{1}i_{2 }\cdots i_{k}}$ är komplexa, helt antisymmetriska tensorer av rang k . Återigen, $\theta _{i}$ och $\theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{ i}\theta _{j}$ (med förbehåll för $i<j$ ), och större ändliga produkter, kan här ses spela rollen som basvektorer för delrum av $\ Lambda$ .

Grassmann-algebra som genereras av n linjärt oberoende Grassmann-variabler har dimensionen 2 ⁿ ; detta följer av binomialsatsen tillämpad på summan ovan, och det faktum att ( n + 1) -faldig produkt av variabler måste försvinna, genom anti-kommutationsrelationerna ovan. Dimensionen för $\Lambda ^{k}V$ ges av n välj k , binomialkoefficienten . Specialfallet n = 1 kallas ett dubbeltal och introducerades av William Clifford 1873.

Om V är oändligt dimensionell, avslutas inte serien ovan och man definierar

$\Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .$

Det allmänna inslaget är nu

$z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2} ,\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{ i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{ i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{ i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},$

där $z_{B}$ ibland hänvisas till som kroppen och $z_{S}$ som själen i supernumret $z$ .

Egenskaper

I det finitdimensionella fallet (med samma terminologi) är själen nilpotent , dvs.

$z_{S}^{n+1}=0,$

men det är inte nödvändigtvis så i det oändliga dimensionsfallet.

Om V är ändlig-dimensionell, då

$\theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Högerpil z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,$

och om V är oändligt dimensionell

$\theta _{a}z=0\quad \forall a\Högerpil z=0.$

Finita kontra räkningsbara uppsättningar av generatorer

Två distinkta typer av supertal förekommer vanligtvis i litteraturen: de med ett ändligt antal generatorer, typiskt n = 1, 2, 3 eller 4, och de med ett oändligt antal generatorer. Dessa två situationer är inte så orelaterade som de kan tyckas först. För det första, i definitionen av en supermanifold , använder en variant ett uträkneligt oändligt antal generatorer, men använder sedan en topologi som effektivt reducerar dimensionen till ett litet ändligt antal.

I det andra fallet kan man börja med ett ändligt antal generatorer, men under den andra kvantiseringen uppstår ett behov av ett oändligt antal generatorer: en vardera för varje möjlig fart som en fermion kan bära.

Involution, val av fält

De komplexa talen väljs vanligtvis som fält för definitionen av Grassmanntalen, i motsats till de reella talen, eftersom detta undviker några konstiga beteenden när en konjugation eller involution introduceras. Det är vanligt att införa en operator * på Grassmann-numren så att:

$\theta =\theta ^{*}$

när $\theta$ är en generator, och sådant

$(\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}$

Man kan då betrakta Grassmann-tal z för vilka $z=z^{*}$ , och benämna dessa (super) verkliga , medan de som lyder $z^{*} =-z$ kallas (super) imaginära . Dessa definitioner fungerar bra, även om Grassmann-talen använder de reella talen som basfält; men i ett sådant fall tvingas många koefficienter att försvinna om antalet generatorer är mindre än 4. Sålunda definieras Grassmanntalen vanligtvis över de komplexa talen enligt konventionen.

Andra konventioner är möjliga; ovanstående hänvisas ibland till som DeWitt-konventionen; Rogers använder $\theta ^{*}=i\theta$ för involutionen. I denna konvention har de verkliga supertalen alltid verkliga koefficienter; medan i DeWitt-konventionen kan de verkliga supertalen ha både verkliga och imaginära koefficienter. Trots detta är det oftast enklast att arbeta med DeWitt-konventionen.

Analys

Produkter av ett udda antal Grassmann-variabler anti-pendlar med varandra; en sådan produkt kallas ofta för ett a-nummer . Produkter med ett jämnt antal Grassmann-variabler pendlar (med alla Grassman-nummer); de kallas ofta c-nummer s. Genom missbruk av terminologi kallas ett a-nummer ibland för ett antipendlings-c-nummer . Denna nedbrytning i jämna och udda delrum ger en $\mathbb {Z} _{2}$ gradering på algebra; alltså Grassmann algebror är de prototypiska exemplen på superkommutativa algebror . Observera att c-talen bildar en subalgebra av $\Lambda$ , men det gör inte a-talen (de är ett delrum, inte en subalgebra).

Definitionen av Grassmann-tal tillåter matematisk analys att utföras, i analogi med analys av komplexa tal. Det vill säga, man kan definiera superholomorfa funktioner, definiera derivator samt definiera integraler. Några av de grundläggande koncepten utvecklas mer i detalj i artikeln om dubbla tal .

Som en allmän regel är det vanligtvis lättare att definiera de supersymmetriska analogerna av vanliga matematiska enheter genom att arbeta med Grassmann-tal med ett oändligt antal generatorer: de flesta definitioner blir enkla och kan tas över från motsvarande bosoniska definitioner. Till exempel kan ett enda Grassmann-tal ses som genererar ett endimensionellt utrymme. Ett vektorrum, det m -dimensionella superrymden , uppträder sedan som den m -faldiga kartesiska produkten av dessa endimensionella $\Lambda .$ Det kan visas att detta i huvudsak motsvarar en algebra med m generatorer, men detta kräver arbete.

Spinor utrymme

Spinorutrymmet definieras som Grassmann eller exteriör algebra $\textstyle {\bigwedge }W$ för utrymmet för Weyl spinors $W$ ( och anti-spinors ${\overline { W}}$ ), så att vågfunktionerna för n fermioner hör hemma i $\textstyle {\bigwedge }^{n}W$ .

Integration

Huvudartikel: Berezin integral

Integraler över Grassmann-tal är kända som Berezin-integraler (kallas ibland Grassmann-integraler). För att kunna reproducera vägintegralen för ett Fermi-fält måste definitionen av Grassmann-integration ha följande egenskaper:

• linjäritet
  $$\int \,[af(\theta )+bg( \theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta$$
• formel för partiell integration
  $$\int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.$$

Dessutom avslutas Taylor-expansionen av valfri funktion $f(\theta )=A+B\theta$ efter två termer eftersom $\theta ^{2}= 0$ , och kvantfältteori kräver dessutom invarians under skiftningen av integrationsvariabler $\theta \to \theta +\eta$ så att

$\int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).$

Den enda linjära funktionen som uppfyller detta villkor är en konstant (konventionellt 1) gånger B , så definierade Berezin

$\int d\theta (A+B\theta )\equiv B.$

Detta resulterar i följande regler för integration av en Grassmann-kvantitet:

• $\int \,1\,d\theta =0$
• $\int \,\theta \,d\theta =1.$

Således drar vi slutsatsen att operationerna för integration och differentiering av ett Grassmann-nummer är identiska.

I vägintegralformuleringen av kvantfältteorin behövs följande Gauss-integral av Grassmann-kvantiteter för fermioniska antipendlingsfält, där A är en N × N- matris:

$\int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \ ,d\eta =\det A$ .

Konventioner och komplex integration

En tvetydighet uppstår när man integrerar över flera Grassmann-nummer. Konventionen som utför den innersta integralen första skörden

$\int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.$

Vissa författare definierar också komplex konjugation som liknar hermitisk konjugering av operatorer,

$(\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.$

Med tilläggskonventionen

$\theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt { 2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},$

vi kan behandla θ och θ* som oberoende Grassmann-tal och adoptera

$\int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.$

Således utvärderar en Gaussisk integral till

${\ b θ$

och en extra faktor på θθ* introducerar effektivt en faktor på (1/b) , precis som en vanlig Gauss,

$\int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\ theta ^{*}b\theta }=1.$

Efter att ha bevisat unitaritet kan vi utvärdera en allmän Gauss-integral som involverar en hermitisk matris B med egenvärden b _i ,

$\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_ {ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _ {i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.$

Matrisrepresentationer

Grassmann-tal kan representeras av matriser . Betrakta till exempel Grassmann-algebra som genereras av två Grassmann-tal $\theta _{1}$ och $\theta _{2}$ . Dessa Grassmann-tal kan representeras av 4×4-matriser:

$\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.$

I allmänhet kan en Grassmann-algebra på n generatorer representeras av 2 ⁿ × 2 ⁿ kvadratmatriser. Fysiskt kan dessa matriser ses som att höja operatorer som agerar på ett Hilbert-utrymme med n identiska fermioner i yrkesnummerbasen. Eftersom yrkesnumret för varje fermion är 0 eller 1, finns det 2 ⁿ möjliga bastillstånd. Matematiskt kan dessa matriser tolkas som de linjära operatorerna som motsvarar vänster yttre multiplikation på själva Grassmann-algebra.

Generaliseringar

Det finns några generaliseringar till Grassmann-tal. Dessa kräver regler i termer av N variabler så att:

$\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _ {i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0$

där indexen summeras över alla permutationer så att som en konsekvens:

$(\theta _{i})^{N}=0\,$

för vissa N > 2. Dessa är användbara för att beräkna hyperdeterminanter av N -tensorer där N > 2 och även för att beräkna diskriminanter av polynom för potenser större än 2. Det finns också det begränsande fallet eftersom N tenderar till oändligheten, i vilket fall man kan definiera analytiska funktioner på siffrorna. Till exempel, i fallet med N = 3 kan ett enda Grassmann-tal representeras av matrisen:

$\theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad$

så att $\theta ^{3}=0$ . För två Grassmann-nummer skulle matrisen vara av storleken 10×10.

Till exempel innebär reglerna för N = 3 med två Grassmann-variabler:

$\theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2 }\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0$

så att det kan visas det

$\theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\ frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}$

och så

$(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2 })^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2} (\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},$

som ger en definition för hyperdeterminanten av en 2×2×2 tensor som

$(A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2} (\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\ psi _{2})^{2}.$

Se även

• Gräsman
• Hermann Grassmann (lingvist och matematiker)
• Superspace
• Exteriör algebra

Anteckningar

•   DeWitt, B. (1984). Supermanifolds . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42377-5 .

•   Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). En introduktion till kvantfältteori (5. (korrigerad) tryckning. red.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975 .

•   Rogers, Alice (2007a). Supermanifolds: Theory and Applications (PDF) . World Scientific. Kapitel 1. doi : 10.1142/1878 . ISBN 978-981-3203-21-1 .

•   Rogers, Alice (2007). Supermanifolds: Teori och tillämpningar . World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1 .