Symplektisk fyllning

I matematik är en fyllning av ett grenrör X en kobordism W mellan X och den tomma mängden . Mer till saken n - dimensionella topologiska grenröret X gränsen för ett ( n + 1)-dimensionellt grenrör W. Det kanske mest aktiva området inom aktuell forskning är när n = 3, där man kan överväga vissa typer av fyllningar.

Det finns många typer av fyllningar, och några exempel på dessa typer (inom ett förmodligen begränsat perspektiv) följer.

• En orienterad fyllning av ett orienterbart grenrör X är ett annat grenrör W så att orienteringen av X ges av gränsorienteringen av W , som är den där den första basvektorn för tangentrymden vid varje punkt på gränsen är den som pekar direkt från W , med avseende på en vald Riemannisk metrik . Matematiker kallar denna orientering den yttre normala första konventionen.

  Alla följande kobordismer är orienterade, med orienteringen på W ges av en symplektisk struktur. Låt ξ beteckna kärnan i kontaktformuläret α .

• En svag symplektisk fyllning av ett kontaktgrenrör ( X , ξ ) är ett symplektiskt grenrör ( W , ω ) med $\partial W=X$ så att $\omega |_{\xi }>0$ .
• En stark symplektisk fyllning av ett kontaktgrenrör ( X , ξ ) är ett symplektiskt grenrör ( W , ω ) med $\partial W=X$ så att ω är exakt nära gränsen (som är X ) och α är en primitiv för ω . Det vill säga ω = dα i ett område av gränsen $\partial W=X$ .
• En Stein-fyllning av ett kontaktgrenrör ( X , ξ ) är ett Stein-grenrör W som har X som sin strikt pseudokonvexa gräns och ξ är mängden komplexa tangenser till X – det vill säga de tangentplan till X som är komplexa med avseende på den komplexa strukturen på W . Det kanoniska exemplet på detta är 3-sfären
  $$\{x\in \mathbb {C} ^{2}:|x|=1\}$$
  där den komplexa strukturen på $\mathbb {C} ^{2}$ är multiplikation med ${\sqrt {-1}}$ i varje koordinat och W är kulan {| x | < 1} avgränsas av den sfären.

Det är känt att denna lista strikt ökar i svårighetsgrad i den meningen att det finns exempel på kontakt 3-grenrör med svag men ingen stark fyllning, och andra som har stark men ingen Stein-fyllning. Vidare kan det visas att varje typ av fyllning är ett exempel på den som föregår den, så att en Stein-fyllning till exempel är en stark symplektisk fyllning. Det brukade vara så att man talade om halvfyllningar i detta sammanhang, vilket betyder att X är en av möjligen många gränskomponenter för W , men det har visat sig att vilken halvfyllning som helst kan modifieras till att vara en fyllning av samma typ , av samma 3-grenrör, i den symplektiska världen (Stein-grenrör har alltid en gränskomponent).

• Y. Eliashberg, Några kommentarer om sympletisk fyllning , geometri och topologi 8 , 2004, sid. 277–293 arXiv : math/0311459
• J. Etnyre, On Symplectic Fillings Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), sid. 73–80 online
• H. Geiges, An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008