Runges sats

Givet en holomorf funktion f på den blå kompakta uppsättningen och en punkt i vart och ett av hålen, kan man approximera f lika bra som önskat av rationella funktioner som endast har poler vid dessa tre punkter.

I komplex analys är Runges sats (även känd som Runges approximationssats ) uppkallad efter den tyske matematikern Carl Runge som först bevisade det år 1885. Den säger följande:

Beteckna med C mängden komplexa tal , låt K vara en kompakt delmängd av C och låt f vara en funktion som är holomorf på en öppen mängd som innehåller K. Om A är en mängd som innehåller minst ett komplext tal från varje avgränsad ansluten komponent av C \ K så finns det en sekvens $(r_{n})_{n\in \mathbb {N } }$ av rationella funktioner som konvergerar enhetligt till f på K och så att alla polerna för funktionerna $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ är i A.

Observera att inte varje komplext tal i A behöver vara en pol för varje rationell funktion av sekvensen $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . Vi vet bara att för alla medlemmar av $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ som har poler, ligger dessa poler i A .

En aspekt som gör detta teorem så kraftfullt är att man kan välja mängden A godtyckligt. Med andra ord, man kan välja vilka komplexa tal som helst från de avgränsade sammankopplade komponenterna av C \ K och satsen garanterar existensen av en sekvens av rationella funktioner med poler endast bland de valda talen.

För det speciella fallet där C \ K är en sammankopplad mängd (särskilt när K är helt enkelt sammankopplad), kommer mängden A i satsen helt klart att vara tom. Eftersom rationella funktioner utan poler helt enkelt är polynom får vi följande följd : Om K är en kompakt delmängd av C så att C \ K är en sammankopplad mängd, och f är en holomorf funktion på en öppen mängd som innehåller K , så finns det en sekvens av polynom $(p_{n})$ som närmar sig f likformigt på K (antagandena kan lättas upp, se Mergelyans teorem ).

Runges sats generaliserar på följande sätt: man kan ta A för att vara en delmängd av Riemann-sfären C ∪{∞} och kräva att A också skär den ogränsade sammankopplade komponenten av K (som nu innehåller ∞). Det vill säga, i formuleringen som ges ovan kan de rationella funktionerna visa sig ha en pol i oändligheten, medan i den mer generella formuleringen kan polen istället väljas var som helst i den obegränsade anslutna komponenten av C \ K .

Bevis

Ett elementärt bevis, som ges i Sarason (1998) , fortsätter enligt följande. Det finns en stängd styckvis linjär kontur Γ i den öppna uppsättningen, som innehåller K i dess inre. Med Cauchys integralformel

f(w)={1 \över 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\ ,dz \over zw}

för w i K . Riemann approximationssummor kan användas för att approximera konturintegralen likformigt över K . Varje term i summan är en skalär multipel av ( z − w ) ⁻¹ för någon punkt z på konturen. Detta ger en enhetlig approximation genom en rationell funktion med poler på Γ.

₀₀₀₀ För att modifiera detta till en approximation med poler vid specificerade punkter i varje komponent av komplementet till K räcker det att kontrollera detta för termer av formen ( z − w ) ⁻¹ . Om z är punkten i samma komponent som z , ta en bitvis linjär bana från z till z . Om två punkter är tillräckligt nära på banan, kan vilken rationell funktion som helst med poler endast vid den första punkten utökas som en Laurent-serie om den andra punkten. Den Laurent-serien kan trunkeras för att ge en rationell funktion med poler endast vid den andra punkten likformigt nära den ursprungliga funktionen på K . Genom att gå stegvis längs vägen från z till z kan den ursprungliga funktionen ( z − w ) ⁻¹ successivt modifieras för att ge en rationell funktion med poler endast vid z .

₀ Om z är punkten i oändligheten, så kan den rationella funktionen ( z − w ) ⁻¹ först approximeras med en rationell funktion g med poler vid R > 0 där R är så stor att K ligger i w < R . Taylor-seriens expansion av g ca 0 kan sedan trunkeras för att ge en polynomapproximation på K .

Se även

Conway, John B. (1997), A Course in Functional Analysis (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-97245-5
Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X
Sarason, Donald (1998), Notes on complex function theory , Texts and Readings in Mathematics, vol. 5, Hindustan Book Agency, s. 108–115, ISBN 81-85931-19-4

externa länkar

"Runge theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]