Plurisubharmonisk funktion

I matematik utgör plurisubharmoniska funktioner (ibland förkortade som psh , plsh , eller plyschfunktioner ) en viktig klass av funktioner som används i komplex analys . På en Kähler-grenrör bildar plurisubharmoniska funktioner en delmängd av de subharmoniska funktionerna . Men till skillnad från subharmoniska funktioner (som definieras på en Riemann-manifold ) kan plurisubharmoniska funktioner definieras i full allmänhet på komplexa analytiska utrymmen .

Formell definition

En funktion

$f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},$

med domän $G\subset {\mathbb {C} }^{n}$ kallas plurisubharmonic om den är övre halvkontinuerlig , och för varje komplex linje

$\{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n}$ med $a,b\in {\mathbb {C} }^{n}$

funktionen $z\mapsto f(a+bz)$ är en subharmonisk funktion på uppsättningen

$\{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.$

I full allmänhet kan begreppet definieras på ett godtyckligt komplext grenrör eller till och med ett komplext analytiskt utrymme $X$ enligt följande. En övre halvkontinuerlig funktion

$f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$

sägs vara plurisubharmonisk om och endast om för någon holomorf karta $\varphi \colon \Delta \to X$ funktionen

$f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$

är subharmonisk , där $\Delta \subset {\mathbb {C} }$ anger enhetsskivan.

Differentiera plurisubharmoniska funktioner

Om $f$ är av (differentierings)klass $C^{2}$ , så är $f$ plurisubharmonisk om och endast om den hermitiska matrisen ${ \displaystyle L_{f}=(\lambda _{ij})}$ , kallad Levi-matris, med poster

$\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z }}_{j}}}$

är positiv halvdefinitiv .

På motsvarande sätt är en $C^{2}$ -funktion f plurisubharmonisk om och endast om ${\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }} f$ är en positiv (1,1)-form .

Exempel

Relation till Kählers mångfald: På n-dimensionellt komplex euklidiskt rymd $\mathbb {C} ^{n}$ , $f(z)=|z|^{2}$ är plurisubharmonisk. Faktum är att ${\sqrt {-1}}\partial {\overline {\partial }}f$ är lika med Kählers standardform på $\mathbb {C} ^{n}$ upp till konstanta multipler. Mer allmänt, om $g$ uppfyller

${\sqrt {-1}}\partial {\overline {\partial }}g=\omega$

för någon Kählerform $\omega$ , då är $g$ plurisubharmonisk, vilket kallas Kählerpotential. Dessa kan enkelt genereras genom att applicera ddbar-lemmat på Kähler-formulär på ett Kähler-grenrör.

Relation till Dirac Delta: På 1-dimensionellt komplex euklidiskt rymd $\mathbb {C} ^{1}$ , $u(z)=\log(z )$ är plurisubharmonisk. Om $f$ är en C ^∞ -klassfunktion med kompakt stöd , så säger Cauchy integralformel

$f(0)=-{\frac {\sqrt {-1}}{2\pi }}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}}$

som kan ändras till

${\frac {\sqrt {-1}}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|$ .

Det är inget annat än Dirac-mått vid origo 0 .

Fler exempel

• Om $f$ är en analytisk funktion på en öppen uppsättning, $\log |f|$ är plurisubharmonic på den öppna mängden.
• Konvexa funktioner är plurisubharmoniska
• Om $\Omega$ är en domän av holomorfi så är $-\log(dist(z,\Omega ^{c}))$ plurisubharmonisk
• Harmoniska funktioner är inte nödvändigtvis plurisubharmoniska

Historia

Plurisubharmonic funktioner definierades 1942 av Kiyoshi Oka och Pierre Lelong .

Egenskaper

• Uppsättningen av plurisubharmoniska funktioner har följande egenskaper som en konvex kon :

• om $f$ är en plurisubharmonisk funktion och $c>0$ ett positivt reellt tal, då är funktionen $c\cdot f$ plurisubharmonisk,
• om $f_{1}$ och $f_{2}$ är plurisubharmonic funktioner, då är summan $f_{1}+f_{2}$ en plurisubharmonic fungera.

• Plurisubharmonicity är en lokal egenskap , dvs en funktion är plurisubharmonic om och endast om den är plurisubharmonic i en grannskap av varje punkt.
• Om $f$ är plurisubharmonic och $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ en monotont ökande, konvex funktion då $\phi \ circ f$ är plurisubharmonisk.
• Om $f_{1}$ och $f_{2}$ är plurisubharmoniska funktioner, då funktionen ${ \displaystyle f(x):=\max(f_{1}(x),f_{2}(x))}$ är plurisubharmonic.
• Om $f_{1},f_{2},\dots$ är en monotont avtagande sekvens av plurisubharmoniska funktioner

då är $f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ plurisubharmonisk.

• Varje kontinuerlig plurisubharmonisk funktion kan erhållas som gränsen för en monotont avtagande sekvens av jämna plurisubharmoniska funktioner. Dessutom kan denna sekvens väljas enhetligt konvergent.
• Olikheten i det vanliga semi-kontinuitetsvillkoret gäller som likhet, dvs om $f$ är plurisubharmonic då

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

(se limit superior och limit inferior för definitionen av lim sup ).

• Plurisubharmoniska funktioner är subharmoniska , för alla Kähler-metrik .
• Därför uppfyller plurisubharmonic funktioner maximiprincipen , dvs om $f$ är plurisubharmonic på den anslutna öppna domänen $D$ och

$\sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})$

för någon punkt $x_{0}\in D$ är $f$ konstant.

Ansökningar

I komplex analys används plurisubharmoniska funktioner för att beskriva pseudokonvexa domäner , domäner av holomorfi och Stein-grenrör .

Oka teorem

Den huvudsakliga geometriska tillämpningen av teorin om plurisubharmoniska funktioner är det berömda teoremet som bevisades av Kiyoshi Oka 1942.

En kontinuerlig funktion $f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }$ kallas uttömmande om förbilden $f^{- 1}(]-\infty ,c])$ är kompakt för alla $c\in {\mathbb {R} }$ . En plurisubharmonisk funktion f kallas starkt plurisubharmonisk om formen ${\sqrt {-1}}(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )$ är positiv , för någon Kähler form $\omega$ på M .

Okas sats: Låt M vara ett komplext mångfald, som medger en jämn, uttömmande, starkt plurisubharmonisk funktion. Då är M Stein . Omvänt medger alla Stein-manifolder en sådan funktion.

•   Bremermann, HJ (1956). "Komplex konvexitet" . Transaktioner från American Mathematical Society . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 .
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Robert C. Gunning . Introduktion till holomorfa funktioner i flera variabler, Wadsworth & Brooks/Cole.
• Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press 1992.

externa länkar

• "Plurisubharmonic function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]