Domän av holomorfi

Uppsättningarna i definitionen.

I matematik , i teorin om funktioner för flera komplexa variabler , är en domän av holomorfi en domän som är maximal i den meningen att det finns en holomorf funktion på denna domän som inte kan utvidgas till en större domän.

Formellt kallas en öppen mängd i det n -dimensionella komplexa rummet en domän av holomorfi om det inte finns icke-tomma öppna uppsättningar och där är ansluten , och så att för varje holomorf funktion där finns en holomorf funktion med

I fallet är varje öppen mängd en domän av holomorfi: vi kan definiera en holomorf funktion med nollor som ackumuleras överallt på domänens gräns , som då måste vara en naturlig gräns för en domän definition av dess ömsesidiga. För är detta inte längre sant, eftersom det följer av Hartogs lemma .

Likvärdiga förhållanden

För en domän är följande villkor likvärdiga:

  1. är en domän av holomorfi
  2. är holomorft konvex
  3. är pseudokonvex
  4. är Levi konvex - för varje sekvens av analytiska kompakta ytor så att för någon uppsättning har vi ( kan inte "berördas inifrån" av en sekvens av analytiska ytor)
  5. har lokal Levi-egenskap - för varje punkt finns det en grannskap av och holomorf på så att inte kan utökas till någon omgivning av

Implikationer är standardresultat (för , se Okas lemma ). Den största svårigheten ligger i att bevisa , dvs att konstruera en global holomorf funktion som inte tillåter någon förlängning från icke-utvidgningsbara funktioner som endast definieras lokalt. Detta kallas Levi-problemet (efter EE Levi ) och löstes först av Kiyoshi Oka , och sedan av Lars Hörmander med hjälp av metoder från funktionsanalys och partiella differentialekvationer (en konsekvens av ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }} } -problem).

Egenskaper

  • Om är domäner av holomorfi, då deras skärningspunkt är också en domän av holomorfi.
  • Om är en stigande sekvens av domäner av holomorfi, då deras förening är också en domän för holomorfi (se Behnke-Stein-satsen ).
  • Om och är domäner av holomorfi, då är en domän av holomorfi.
  • Det första kusinproblemet är alltid lösbart inom en domän av holomorfi; detta är också sant, med ytterligare topologiska antaganden, för det andra kusinproblemet .

Se även

  • Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
  • Boris Vladimirovich Shabat, Introduktion till komplex analys , AMS, 1992

Den här artikeln innehåller material från Domain of holomorphy på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .