Grupp-stack

I algebraisk geometri är en gruppstack en algebraisk stack vars kategorier av punkter har gruppstrukturer eller till och med gruppoidstrukturer på ett kompatibelt sätt. Det generaliserar ett gruppschema , vilket är ett schema vars uppsättningar av punkter har gruppstrukturer på ett kompatibelt sätt.

Exempel

• Ett gruppschema är en gruppstack. Mer allmänt är en grupp algebraisk-rymd , en algebraisk-rymden analog av ett gruppschema, en grupp-stack.
• Över ett fält k är en vektorbuntstack ${\mathcal {V}}$ på en Deligne–Mumford-stack X en gruppstack så att det finns en vektorbunt V över k på X och en presentation $V\to {\mathcal {V}}$ . Den har en åtgärd av den affina linjen $\mathbb {A} ^{1}$ som motsvarar skalär multiplikation.
• En Picard-stack är ett exempel på en gruppstack (eller groupoid-stack).

Åtgärder av gruppstackar

Definitionen av en gruppåtgärd av en gruppstack är lite knepig. För det första, givet en algebraisk stack X och ett gruppschema G på ett basschema S , består en högeråtgärd av G på X av

1. en morfism $\sigma :X\ gånger G\till X$ ,
2. (associativitet) en naturlig isomorfism ${\displaystyle \sigma \circ (m\ gånger 1_{X}){\översatt {\sim }{\to }}\sigma \circ (1_{X}\ gånger \sigma )} ,$ där m är multiplikationen på G ,
3. (identitet) en naturlig isomorfism $1_{X}{\overset {\sim }{\to }}\sigma \circ (1_{X}\times e)$ , där $e:S\to G$ är identitetssektionen för G ,

som uppfyller de typiska kompatibilitetsvillkoren.

Om G mer generellt är en gruppstack, utökar man ovanstående med hjälp av lokala presentationer.

Anteckningar

•   Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-01). "Den inneboende normala konen". Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. doi : 10.1007/s002220050136 . ISSN 0020-9910 .