Förstack

Inom algebraisk geometri är en prestack F över en kategori C utrustad med någon Grothendieck-topologi en kategori tillsammans med en funktion p : F → C som uppfyller ett visst lyftvillkor och sådan att (när fibrerna är groupoids) lokalt isomorfa objekt är isomorfa. En stack är en förstack med effektiva nedgångar, vilket innebär att lokala objekt kan lappas ihop för att bli ett globalt objekt.

Förstackar som förekommer i naturen är vanligtvis stackar, men vissa naivt konstruerade förstackar (t.ex. gruppoidschema eller förstack av projektiviserade vektorbuntar ) kanske inte är stackar. Förstackar kan studeras på egen hand eller skickas till stackar .

Eftersom en stack är en förstack gäller alla resultat på förstackar också för stackar. Genomgående i artikeln arbetar vi med en fast baskategori C ; till exempel C vara kategorin för alla scheman över något fast schema utrustad med någon Grothendieck-topologi .

Informell definition

Låt F vara en kategori och anta att den är fibrerad över C genom funktorn $p:F\to C$ ; detta betyder att man kan konstruera tillbakadragningar längs morfismer i C , upp till kanoniska isomorfismer.

Givet ett objekt U i C och objekt x , y i $F(U)=p^{-1}(U)$ , för varje morfism $f:V\to U$ i C , efter att ha fixat pullbacks $f^{*}x,f^{*}y$ , låter vi

${\underline {\operatörsnamn {Hom} }}(x,y)(V{\ overset {f}{\to }}U)=[\operatörsnamn {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]$

vara mängden av alla morfismer från $f^{*}x$ till $f^{*}y$ ; här betyder konsolen att vi kanoniskt identifierar olika Hom-uppsättningar som är resultatet av olika val av pullbacks. För varje $g:W\to V$ över U , definiera begränsningskartan från f till g : ${\underline {\operatörsnamn {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatörsnamn {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)$ för att vara kompositionen

$[\operatörsnamn {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[ \operatörsnamn {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatörsnamn {Hom} ((f\circ g)^ {*}x,(f\circ g)^{*}y)]$

där en kanonisk isomorfism $g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}$ används för att få = till höger. Då ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ en förlist på segmentkategorin $C_{/U}$ , kategorin av alla morfismer i C med mål U .

Per definition är F en förstack om, för varje par x , y , ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ är en bunt av mängder med respekt till den inducerade Grothendieck-topologin på $C_{/U}$ .

Denna definition kan formuleras på motsvarande sätt enligt följande. Först, för varje täckande familj ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}} "$ definierar" vi kategorin $F(\{ V_{i}\to U\})$ som en kategori där: skriva ${\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j} \times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}},$ etc.,

1. ett objekt är en uppsättning $\{(x_{i},\varphi _{ij})\}$ av par som består av objekt $x_{i}$ i $F(V_{i})$ och isomorfismer ${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2} ^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}} som uppfyller samcykelvillkoret$ : $p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{* }\varphi _{jk}$
2. en morfism $\{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{ i},\psi _{ij})\}$ består av $\alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}$ i $F(V_{i})$ så att $\psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.$

Ett objekt i denna kategori kallas en nedstigningsdatum. Denna kategori är inte väldefinierad ; problemet är att tillbakadragen endast bestäms upp till kanoniska isomorfismer; på liknande sätt definieras fiberprodukter endast upp till kanoniska isomorfismer, trots notationspraxis om motsatsen. I praktiken gör man helt enkelt några kanoniska identifieringar av pullbacks, deras sammansättningar, fiberprodukter etc.; upp till sådana identifieringar är ovanstående kategori väldefinierad (med andra ord, den är definierad upp till en kanonisk motsvarighet av kategorier.)

Det finns en uppenbar funktion $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ som skickar ett objekt till nedstigningen datum som den definierar. Man kan då säga: F är en förstack om och endast om, för varje täckande familj $\{V_{i}\to U\}$ , funktionatorn $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ är helt trogen. Ett uttalande som detta är oberoende av val av kanoniska identifikationer som nämnts tidigt.

Den väsentliga bilden av $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ består exakt av effektiva nedstigningsdata (bara definitionen av "effektiv"). Således F en stack om och endast om, för varje täckande familj $\{V_{i}\to U\}$ , $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ är en ekvivalens av kategorier.

Dessa omformuleringar av definitionerna av prestackar och stackar gör intuitiva betydelser av dessa begrepp mycket explicita: (1) "fiberkategori" betyder att man kan konstruera en tillbakadragning (2) "prestack i groupoids" betyder dessutom "lokalt isomorf" innebär "isomorf" ( 3) "stack i groupoids" betyder, förutom de tidigare egenskaperna, ett globalt objekt kan konstrueras från lokala data som är föremål för samcykelförhållanden. Alla dessa fungerar upp till kanoniska isomorfismer .

Morfismer

Se även: Morfism av algebraiska stackar

Definitioner

Givet prestackar $p:F\to C,q:G\to C$ över den fasta baskategorin C , en morfism $f:F \to G$ är en funktion så att (1) $q\circ f=p$ och (2) den mappar kartesiska morfismer till kartesiska morfismer. Not (2) är automatiskt om G är fibrer i gruppoider; t.ex. en algebraisk stack (eftersom alla morfismer är kartesiska då.)

Om $p:F_{S}\to C$ är stacken som är associerad med ett schema S i baskategorin C , då är fibern ${ \displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}$ är, genom konstruktion, mängden av alla morfismer från U till S i C . Analogt, givet ett schema U i C som ses som en stack (dvs. $F_{U}$ ) och en kategori F fiberd i groupoider över C , säger 2-Yoneda-lemmat: det finns en naturlig motsvarighet av kategorier

$\operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{ U})}{\to }}F(U)$

där $\operatorname {Funct} _{C}$ refererar till den relativa funktionskategorin ; objekten är funktorerna från U till F över C och morfismerna är de basbevarande naturliga transformationerna.

Fiberprodukt

Låt $f:F\to B,g:G\to B$ vara morfismer av prestackar. Då, per definition, är fiberprodukten $F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G$ kategorin där

1. ett objekt är en trippel $(x,y,\psi )$ bestående av ett objekt x i F , ett objekt y i G , båda över samma objekt i C , och en isomorfism $\psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)$ i G över identitetsmorfismen i C , och
2. en morfism $(x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')$ består av $\alpha :x\to x'$ i F , $\beta :y\to y'$ i G , båda över samma morfism i C , så att $g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )$ .

Den kommer med de glömska funktionerna p , q från $F\times _{B}G$ till F och G .

Denna fiberprodukt beter sig som en vanlig fiberprodukt men upp till naturliga isomorfismer. Innebörden av detta är följande. För det första pendlar inte det uppenbara torget; istället, för varje objekt $(x,y,\psi )$ i $F\times _{B}G$ :

$\psi :(f\circ p) (x,y,\psi )=f(x){\översatt {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi)$ .

Det vill säga, det finns en inverterbar naturlig transformation (= naturlig isomorfism)

$\Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q$ .

För det andra uppfyller den den strikta universella egenskapen: med en prestack H , morfismer ${\displaystyle u:H\to F} ,$ v $\displaystyle v:H\to G}$ , en naturlig isomorfism $}g\circ v} ,$$w:H \to F\times _{B}G$ det finns en tillsammans med naturliga isomorfismer $u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w$ och ${ \displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}$ så att $f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g \circ v$ är $f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w$ . I allmänhet är en fiberprodukt av F och G över B en prestack kanoniskt isomorf till $F\times _{B}G$ ovan.

När B är baskategorin C (prestacken över sig själv), tas B bort och man skriver helt enkelt $F\times G$ . Observera att i det här fallet är $\psi$ i objekt alla identiteter.

Exempel : För varje prestack $p:X\to C$ , finns den diagonala morfismen $\Delta :X\to X\times X$ given av $x\mapsto (x,x,1_{p(x)})$ .

Exempel : Givet $F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1 ,2$ , $(F_{ 1}\ gånger F_{2})\ gånger _{B_{1}\ gånger B_{2}}(G_{1}\ gånger G_{2})\simeq (F_{1}\ gånger _{B_{1 }}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})$ .

Exempel : Givet $f:F\to B,g:G\to B$ och den diagonala morfismen $\Delta :B\ till B\ gånger B$ ,

$F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f \times g,\Delta }B$ ;

denna isomorfism är helt enkelt konstruerad för hand.

Representativa morfismer

En morfism av prestackar $f:X\to Y$ sägs vara starkt representativ om, för varje morfism $S\to Y$ från ett schema S i C ses som en prestack, fiberprodukten $X\times _{Y}S$ av prestackar är ett schema i C .

Speciellt gäller definitionen strukturkartan $p:X\to C$ (baskategorin C är en förstack över sig själv via identiteten). Då p starkt representerad om och endast om $X\simeq X\times _{C}C$ är ett schema i C .

Definitionen gäller även för den diagonala morfismen $\Delta :X\to X\times X$ . Om $\Delta$ är starkt representerad, då är varje morfism $U\to X$ från ett schema U starkt representerad eftersom ${ \displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}$ är starkt representerad för alla T → X .

Om $f:X\to Y$ är en starkt representativ morfism, för alla ${\displaystyle S\to Y} ,$ S ett schema ses som en förstack, projektionen $X\times _{Y}S\to S$ är en morfism av scheman ; detta gör att man kan överföra många föreställningar om egenskaper på morfismer av scheman till stackkontexten. Låt nämligen P vara en egenskap på morfismer i baskategorin C som är stabil under basförändringar och som är lokal på topologin för C (t.ex. étale topologi eller slät topologi ). Då sägs en starkt representativ morfism ${\displaystyle f:X\to Y} av prestackar ha egenskapen$ P om, för varje morfism $T\to Y$ , T ett schema som visas som en förstack har den inducerade projektionen $X\times _{Y}T\to T$ egenskapen P .

Exempel: prestacken som ges av en handling av en algebraisk grupp

Låt G vara en algebraisk grupp som verkar från höger på ett schema X av finit typ över ett fält k . Sedan bestämmer gruppåtgärden för G på X en förstack (men inte en stack) över kategori C av k -scheman, enligt följande. Låt F vara kategorin där

1. ett objekt är ett par $(U,x)$ bestående av ett schema U i C och x i mängden $X(U )=\operatörsnamn {Hom} _{C}(U,X)$ ,
2. en morfism $(U,x)\to (V,y)$ består av ett $U\to V$ i C och ett element $g\in G(U)$ så att xg = y ' där vi skrev $y':U\to V{\overset {y}{ \till }}X$ .

Genom den glömska funktorn till C är denna kategori F fibrer i groupoids och är känd som en action groupoid eller en transformation groupoid. Den kan också kallas kvoten förstack av X med G och betecknas som $[X/G]^{pre}$ , eftersom, som det visar sig, staplingen av den är kvotstapeln ${\displaystyle [X/G]$ } . Konstruktionen är ett specialfall av att bilda #Prestacken av ekvivalensklasser ; i synnerhet är F en förstack.

När X är en punkt $*=\operatörsnamn {Spec} (k)$ och G är affin, är kvoten $[*/G]^{pre}=BG^{pre}$ är den klassificerande förstacken av G och dess stackning är den klassificerande stacken av G .

När man ser X som en förstack (i själva verket en stack), finns den uppenbara kanoniska kartan

$\pi :X\to F$

över C ; uttryckligen, varje objekt $(U,x:U\to X)$ i förstacken X går till sig själv, och varje morfism ${ \displaystyle (U,x)\to (V,y)} ,$ som uppfyller x är lika med $U\to V{\overset {y}{\to }}X$ per definition, går till identitetsgruppelementet av G ( U ).

Då passar ovanstående kanoniska karta in i en 2- coequalizer (en 2-kvot):

$X\ gånger G{\overset {s}{\underset {t}{\rightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F$ ,

där t : ( x , g ) → xg är den givna gruppåtgärden och är en projektion. Det är inte 1-coequalizer eftersom man istället för likheten $\pi \circ s=\pi \circ t$ har $\pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t$ ges av

$g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).$

Förstacken av ekvivalensklasser

Låt X vara ett schema i baskategorin C . Per definition är en ekvivalenspre-relation en morfism $R\to X\x$ i C så att, för varje schema T i C , funktionen $f(T):R(T)=\operatörsnamn {Hom} (T,R)\till X(T)\ gånger X (T)$ har bilden som är en ekvivalensrelation . Prefixet "pre-" beror på att vi inte kräver att $f(T)$ är en injektiv funktion .

Exempel : Låt en algebraisk grupp G agera på ett schema X av finit typ över ett fält k . Ta $R=X\ gånger _{k}G$ och sedan för valfritt schema T över k låt

$f(T):R(T)\till X(T)\ gånger X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).$

Enligt Yonedas lemma bestämmer detta en morfism f , som helt klart är en ekvivalensförrelation.

Till varje given ekvivalensförrelation $f:R\to X\times X$ (+ lite mer data) finns en associerad prestack F definierad enligt följande. För det första F en kategori där: med beteckningarna $s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f$ ,

1. ett objekt är ett par $(T,x)$ bestående av ett schema T och en morfism x : T → X i C
2. en morfism $(T,x)\to (S,y)$ består av en $T\to S$ och ${ \displaystyle \delta :T\to R}$ så att $s\circ \delta =x$ och $t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X$
3. sammansättningen av $(,\delta ):(T,x)\to (S,y)$ följt av $(,\delta '):(S,y)\to (U,z)$ består av $T\to S\to U$ och $\delta '':T\to R$ erhålls enligt följande: eftersom ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}} ,$ av den universella egenskapen, finns det en inducerad karta

   $(\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R$ .

   Låt sedan $\delta ''$ vara $T\to R\times _{t,s}R$ följt av multiplikationen
4. identitetsmorfismen för ett objekt $(T,x)$ består av identitetskartan T → T och δ som är $x:T\to X$ följt av $e:X\to R$ ; det senare erhålls genom att faktorisera den diagonala morfismen genom f , möjligt genom reflexivitet.

fibreras kategori F i groupoider. Slutligen kontrollerar vi att F är en prestack; för det, observera: för objekt x , y i F ( U ) och ett objekt $f:V\to U$ i $C_{/U}$ ,

${\begin{aligned}{\underline {\operatörsnamn {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatörsnamn {Hom} (f ^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^ {*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}$

Nu betyder detta att ${\underline {\operatörsnamn {Hom} }}(x,y)$ är fiberprodukten av ${\ displaystyle (s,t):R\to X\times X}$ and $(x,y):U\to X\times X$ . Eftersom fiberprodukten från kärvar är en kärve, följer det att ${\underline {\operatörsnamn {Hom} }}(x,y)$ är en kärve.

Förstacken F ovan kan skrivas som $[X/\sim _{R}]^{pre}$ och staplingen av den skrivs som ${ \displaystyle [X/\sim _{R}]}$ .

Observera att när X ses som en stack har både X och $[X/\sim _{R}]^{pre}$ samma uppsättning objekt. På morfismnivån, medan X endast har identitetsmorfismer som morfismer, har prestacken $[X/\sim _{R}]^{pre}$ ytterligare morfismer ${\ displaystyle \delta }$ specificerad av ekvivalenspre-relationen f .

En betydelse för denna konstruktion är att den tillhandahåller en atlas för ett algebraiskt rum: varje algebraiskt rum har formen $[U/\sim _{R}]$ för vissa scheman U , R och en étale ekvivalens pre-relation $f:R\to U\ gånger U$ så att, för varje T , ${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)} är$ en injektiv funktion ("étale" betyder de två möjliga kartorna $s,t:R\to U\times U\to U$ är étale.)

Med utgångspunkt från en Deligne–Mumford-stack ${\mathfrak {X}}$ kan man hitta en ekvivalensförrelation $f:R\to U\times U$ för vissa scheman R , U så att ${\mathfrak {X}}$ är staplingen av den förstacken som är kopplad till den: ${\mathfrak {X}}\simeq [U /\sim _{R}]$ . Detta görs enligt följande. Per definition finns det en étale surjektiv morfism $\pi :U\to {\mathfrak {X}}$ från något schema U . Eftersom diagonalen är starkt representerad är fiberprodukten $U\times _{\mathfrak {X}}U=R$ ett schema (det vill säga representeras av ett schema) och låter sedan

$s,t:R\rightarrows U$

vara den första och andra projektionen. Om vi ​​tar $f=(s,t):R\to U\times U$ , ser vi att $f$ är en ekvivalensförrelation. Vi avslutar, ungefär, enligt följande.

1. Förläng $\pi :U\to {\mathfrak {X}}$ till $\pi :[U/\sim _{ R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}$ (ingenting förändras på objektnivå, vi behöver bara förklara hur man skickar $\delta$ .)
2. Genom den universella egenskapen för stapling, faktorerar $\pi$ genom $[U/\sim _{R}]\till {\mathfrak {X}}$ .
3. Kontrollera att den sista kartan är en isomorfism.

Stackar associerade med prestackar

Det finns ett sätt att associera en stack till en given prestack. Det liknar sköljningen av en förkärv och kallas stapling . Idén med konstruktionen är ganska enkel: givet en prestack $p:F\to C$ , låter vi HF vara kategorin där ett objekt är en nedstigningsdatum och en morfism är den för nedstigningsdata. (Detaljen är utelämnad för närvarande)

Som det visar sig är det en stack och kommer med en naturlig morfism $\theta :F\to HF$ så att F är en stack om och endast om θ är en isomorfism.

I vissa speciella fall kan staplingen beskrivas i termer av torsorer för affina gruppscheman eller generaliseringarna. I själva verket, enligt denna synvinkel, är en stack i groupoider inget annat än en kategori av torsorer, och en prestack en kategori av triviala torsorer, som är lokala modeller av torsorer.

Anteckningar

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraiska stackar , arkiverad från originalet 2008-05-05 , hämtad 2017-06-13
•   Vistoli, Angelo (2005), "Grotendieck-topologier, fiberkategorier och härkomstteori", Grundläggande algebraisk geometri , matematik. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR 2223406

externa länkar

• Dai Tamaki (7 augusti 2019). "Förstaplar och fiberkategorier" .