Siegel noll

Inom matematiken , närmare bestämt inom analytisk talteori , är en Landau–Siegel-nolla eller helt enkelt Siegel-nolla (även känd som exceptionell nolla ), uppkallad efter Edmund Landau och Carl Ludwig Siegel , en typ av potentiellt motexempel till den generaliserade Riemann-hypotesen , på nollorna i Dirichlet L-funktioner associerade med kvadratiska talfält . Grovt sett är dessa möjliga nollor mycket nära (i en kvantifierbar mening) $s=1$ .

Motivation och definition

Sättet på vilket Siegel-nollor uppträder i teorin om Dirichlet L-funktioner är som potentiella undantag från de klassiska nollfria regionerna, som bara kan inträffa när L-funktionen är associerad med en riktig Dirichlet-karaktär.

Riktigt primitiva Dirichlet-karaktärer

För ett heltal q ≥ 1 är ett Dirichlet-tecken modulo q en aritmetisk funktion ${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$ som uppfyller följande egenskaper:

• ( Fullständigt multiplikativ ) ${\textstil \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$ för varje m , n ;
• (Periodisk) ${\textstil \chi (n+q)=\chi (n)}$ för varje n ;
• (Stöd) ${\textstil \chi (n)=0}$ om $\mathrm {gcd} (n,q)>1$ .

Det vill säga, χ är upphävandet av en homomorfism ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^ {\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$ .

Det triviala tecknet är tecknet modulo 1, och huvudtecknet modulo q , betecknat ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)} ,$ är lyftet av trivial homomorfism ${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C } ^{*}}$ .

Ett tecken ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ kallas imprimitivt om det finns något heltal ${\textstyle d\neq q}$ med ${\textstyle d\mid q}$ så att den inducerade homomorfismen ${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb { Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$ faktorer som

$(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z) } /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}$

för något tecken ${\textstil \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$ ; annars kallas ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ primitiv .

Ett tecken ${\textstyle \chi }$ är reellt (eller kvadratiskt ) om det är lika med dess komplexa konjugat ${\overline {\chi }}$ (definierad som ${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}} ), eller motsvarande om$ χ $\textstyle \chi ^{2}=\chi _ {0}}$ . De verkliga primitiva Dirichlet-teckenen är i en-till-en-överensstämmelse med Kronecker-symbolerna ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z } \to \{-1,0,1\}}$ för ${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$ en fundamental diskriminant (dvs. diskriminanten för ett kvadratiskt talfält ). Ett sätt att definiera ${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$ är som den fullständigt multiplikativa aritmetiska funktionen som bestäms av (för p primtal):

${\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ delas i }}\mathbb {Q} ( {\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ är inert }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots ,\end{ fall}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{tecken på }}D.$

Det är alltså vanligt att skriva ${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)} ,$ som är verkliga primitiva tecken modulo ${\textstyle |D|}$ .

Klassiska nollfria regioner

Huvudartikel: Dirichlet L-funktion § Nollor

Dirichlet L-funktionen associerad med ett tecken ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ definieras som den analytiska fortsättningen av Dirichlet-serien ${\textstil L(s,\chi )=\summa _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}} definierad$ för ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ , där s är en komplex variabel . För $\chi$ icke-principal är denna fortsättning hel ; annars har den en enkel pol av rest ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$ vid s = 1 som sin enda singularitet . För ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ kan Dirichlet L-funktioner utökas till en Euler-produkt ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}} , varifrån det följer$ att ${\textstyle L(s,\chi )}$ har inga nollor i denna region. Primtalssatsen för aritmetiska progressioner är ekvivalent (i en viss mening) med ${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$ ( ${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$ ). Dessutom, via den funktionella ekvationen , kan vi reflektera dessa regioner genom ${\textstyle s\mapsto 1-s}$ för att dra slutsatsen att, med undantag för negativa heltal med samma paritet som χ , alla andra nollställen i ${\textstyle L(s,\chi )}$ måste ligga inuti $\{0<\mathrm {Re} (s)<1\}$ . Denna region kallas den kritiska remsan , och nollor i denna region kallas icke-triviala nollor .

Den klassiska satsen om nollfria regioner (Grönwall, Landau, Titchmarsh) säger att det finns ett effektivt beräkningsbart reellt tal ${\textstil A>0}$ så att $s=\sigma +it$ för den komplexa variabeln har funktionen ${\textstyle L(s,\chi )}$ inga nollor i regionen

$\sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}$

om ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ är icke-verklig. Om ${\textstyle \chi }$ är verklig, så finns det högst en nolla i denna region, som nödvändigtvis måste vara verklig och enkel . Denna möjliga nolla är den så kallade Siegel-nollan .

Den generaliserade Riemann-hypotesen (GRH) hävdar att för varje ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ , alla icke-triviala nollor i ${\ textstil L(s,\chi )}$ ligger på linjen ${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$ .

Definierar "Siegel nollor"

Olöst problem i matematik :

Finns det ${\textstil \delta >0}$ för vilken ${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$ för varje fundamental diskriminant D som tillhandahålls ${\textstil 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$ ?

(fler olösta problem i matematik)

Definitionen av Siegel-nollor som presenteras binder den till konstanten A i det nollfria området. Detta gör det ofta svårt att hantera dessa objekt, eftersom det speciella värdet av konstanten A i många situationer är av ringa betydelse. Därför är det vanligt att arbeta med mer bestämda påståenden, antingen hävda eller förneka, existensen av en oändlig familj av sådana nollor, som i:

• Gissning ("inga Siegel-nollor"): Om ${\textstyle \beta _{D}}$ betecknar den största reella nollan av ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ , sedan $1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.$

Möjligheten att existera eller inte existera av Siegel-nollor har en stor inverkan i närbesläktade ämnen inom talteori, där gissningen "inga Siegel-nollor" fungerar som en svagare (även om kraftfull, och ibland fullt tillräcklig) ersättning för GRH (se nedan) till exempel som involverar Siegel-Tatuzawas sats och problemet med idontal ). En likvärdig formulering av "inga Siegel-nollor" som inte uttryckligen refererar till nollor är påståendet:

${\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).$

Ekvivalensen kan härledas till exempel genom att använda de nollfria regionerna och klassiska uppskattningar för antalet icke-triviala nollor av ${\textstyle L(s,\chi )}$ upp till en viss höjd.

Landau-Siegel uppskattningar

Det första genombrottet i hanteringen av dessa nollor kom från Landau, som visade att det finns en effektivt beräkningsbar konstant $B>0$ så att för alla ${\textstyle \chi _{D}}$ och ${\textstyle \chi _{D'}}$ verkliga primitiva tecken till distinkta moduler, om ${\textstyle \beta ,\beta '}$ är reella nollor av ${\textstil L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$ respektive, sedan

$\min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.$

Detta säger att om Siegel-nollor finns, så kan de inte vara för många. Sättet detta bevisas är via ett "vridande" argument, som lyfter problemet till Dedekind zeta-funktionen för det biquadratiska fältet ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}, {\sqrt {D'}})}$ . Denna teknik tillämpas fortfarande till stor del i moderna verk.

Denna "avstötande effekt" (se fenomenet Deuring–Heilbronn ), efter mer noggrann analys, ledde Landau till sin sats från 1936, som säger att för varje ${\textstyle \varepsilon >0}$ finns det ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$ så att, om ${\textstyle \beta }$ är en reell nolla av ${\textstyle L(s, \chi _{D})}$ , sedan ${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$ . Men samma år, i samma nummer av samma tidskrift, förbättrade Siegel direkt denna uppskattning till

$\beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.$

Både Landaus och Siegels bevis ger inget explicit sätt att beräkna ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}},$ vilket är exempel på ett ineffektivt resultat .

Siegel-Tatuzawa-satsen

År 1951 visade Tikao Tatsuzawa en "nästan" effektiv version av Siegels sats, och visade att för alla fixerade ${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}} ,$ om ${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$ sedan

$L(1,\chi _{D})>0,655|D|^{-\varepsilon },$

eventuellt med undantag för högst en grundläggande diskriminant. Med hjälp av "nästan effektiviteten" av detta resultat visade PJ Weinberger (1973) att Eulers lista med 65 idontal är komplett med undantag för högst två element.

Relation till kvadratiska fält

Siegel-nollor framstår ofta som mer än en artificiell fråga i argumentet för att härleda nollfria regioner, eftersom uppskattningar av nollfria regioner har djupa kopplingar till aritmetiken för kvadratiska fält. Till exempel, identiteten ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s) =\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$ kan tolkas som en analytisk formulering av kvadratisk reciprocitet (se Artin reciprocitetslag §Uttalande i termer av L-funktioner ). Det exakta sambandet mellan fördelningen av nollor nära s = 1 och aritmetik kommer från Dirichlets klasstalsformel :

$L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _ {D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{case}}$

var:

• ${\textstyle h(D)}$ är det ideala klasstalet för ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ;
• ${\textstyle w_{D}}$ är antalet rötter av enhet i ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ( D < 0 );
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$ är den grundläggande enheten för ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ( D > 0 ).

På detta sätt kan uppskattningar för den största reella nollan av ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ översättas till skattningar för ${\textstyle L( 1,\chi _{D})}$ (via till exempel det faktum att ${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )| =O(\log ^{2}q)}$ för ${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1} )$ , som i sin tur blir skattningar för ${\textstyle h(D)}$ . Klassiska verk i ämnet behandlar dessa tre kvantiteter i huvudsak utbytbart, även om fallet D > 0 medför ytterligare komplikationer relaterade till den grundläggande enheten.

Siegel nollställer som "kvadratiska fenomen"

Det finns en mening där svårigheten förknippad med fenomenet Siegel-nollor i allmänhet är helt begränsad till kvadratiska förlängningar. Det är till exempel en konsekvens av Kronecker–Webers sats , att Dedekinds zetafunktion ${\textstyle \zeta _{K}(s) =\summa _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}} av ett$ abelskt talfält ${ \textstyle K/\mathbb {Q} }$ kan skrivas som en produkt av Dirichlet L-funktioner. Således, om ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ har en Siegel-nolla, måste det finnas något underfält ${\textstyle F\subseteq K}$ med ${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$ så att ${\textstyle \zeta _{F}(s)}$ har en Siegel-nolla.

Medan för det icke-abelska fallet ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ bara kan inkluderas i mer komplicerade Artin L-funktioner , är det samma sant:

• Teorem ( Stark , 1974) . Låt ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ vara ett talfält av grad n > 1 . Det finns en konstant ${\textstyle c(n)}$ ( ${\textstyle =4}$ om ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ är normal, ${\textstyle =4n!}$ annars) så att, om det finns en verklig ${\textstyle \beta }$ i intervallet

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1 med$

ζ $\textstil \zeta _{K} (\beta )=0}$ , då finns det ett kvadratiskt delfält ${\textstyle F\subseteq K}$ så att ${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$ . Här är ${\textstyle \Delta _{K}}$ fältdiskriminanten för tillägget ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ .

"Inga Siegel-nollor" för D < 0

När man hanterar kvadratiska fält tenderar fallet ${\textstyle D>0}$ att vara svårfångade på grund av den grundläggande enhetens beteende. Det är alltså vanligt att behandla fallen ${\textstyle D<0}$ och ${\textstyle D>0}$ separat. Mycket mer är känt för fallet med negativ diskriminering:

Nedre gränser för h ( D )

1918 visade Erich Hecke att "inga Siegel-nollor" för ${\textstyle D<0}$ innebär att ${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}} ($ se Klassnummerproblem för jämförelse). Detta kan utökas till en ekvivalens, eftersom det är en konsekvens av sats 3 i Granville – Stark (2000):

${\text{“Inga Siegel-nollor” för }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D |}}{\log |D|}}\summa _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},$

där summeringen löper över de reducerade binära kvadratiska formerna ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ av diskriminant ${\textstyle D}$ . Med hjälp av detta visade Granville och Stark att en viss enhetlig formulering av abc-förmodan för talfält innebär "inga Siegel-nollor" för negativa diskriminanter.

1976 bevisade Dorian Goldfeld följande ovillkorliga, effektiva nedre gräns för ${\textstyle h(D)}$ :

$h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\ ,\log |D|.$

Komplex multiplikation

En annan ekvivalens för "inga Siegel-nollor" för ${\textstyle D<0}$ kan ges i termer av övre gränser för höjder av singulära moduler :

$h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,$

var:

• ${\textstyle h}$ är den absoluta logaritmiska naiva höjden för talfält;
• ${\textstyle j}$ är den j-invarianta funktionen ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$ .

Talet ${\textstyle j(\tau _{D})}$ genererar Hilbert-klassfältet ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ , som är dess maximala oframifierade abelska förlängning. Denna likvärdighet är en direkt följd av resultaten i Granville–Stark (2000), och kan ses i C. Táfula (2019).

Ett exakt samband mellan höjder och värden för L-funktioner erhölls av Pierre Colmez (1993, 1998), som visade att för en elliptisk kurva ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$ med komplex multiplikation med ${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]} ,$ vi har

$-2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|= {\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,$

där ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$ anger Faltingshöjden . Använda identiteterna ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{ D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$ och ${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _ {D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma } ,$ Colmez' teorem ger också ett bevis för ekvivalensen ovan.

Konsekvenser av existerande Siegel-nollor

Även om den generaliserade Riemann-hypotesen förväntas vara sann, eftersom gissningen "inga Siegel-nollor" förblir öppen, är det intressant att studera vilka konsekvenser sådana allvarliga motexempel till GRH skulle innebära. Ett annat skäl att studera denna möjlighet är att beviset för vissa ovillkorliga satser kräver uppdelningen i två fall: först ett bevis som antar att inga Siegel-nollor existerar, sedan ett annat som antar att Siegel-nollor existerar. En klassisk sats av denna typ är Linniks sats om det minsta primtal i en aritmetisk progression .

Följande är några exempel på fakta som följer av existensen av Siegel-nollor.

Oändlighet av tvillingprimtal

Huvudartikel: Twin prime

Ett slående resultat i denna riktning är Roger Heath-Browns resultat från 1983 som, efter Terence Tao , kan konstateras enligt följande:

• Teorem (Heath-Brown, 1983) . Åtminstone ett av följande är sant: (1) Det finns inga Siegel-nollor. ( 2) Det finns oändligt många tvillingprimtal .

Paritetsproblem

Huvudartikel: Paritetsproblem (siktteori)

Paritetsproblemet i siktteorin syftar grovt på det faktum att siktningsargument generellt sett inte kan säga om ett heltal har ett jämnt eller udda antal primtalare. Detta leder till att många övre gränser i siktuppskattningar, som att den från den linjära sikten är borta med en faktor 2 från det förväntade värdet. År 2020 Granville att under antagandet om existensen av Siegel-nollor är de allmänna övre gränserna för problemet med siktningsintervall optimala, vilket innebär att den extra faktorn 2 som kommer från paritetsfenomenet inte skulle vara en artificiell begränsning av metod.

Se även

• Generaliserad Riemann-hypotes
• Deuring–Heilbronn fenomen
• Klassnummer problem
• Brauer-Siegels sats
• Siegel–Walfisz teorem

•    Davenport, H. (1980). Multiplikativ talteori . Examentexter i matematik. Vol. 74. doi : 10.1007/978-1-4757-5927-3 . ISBN 978-1-4757-5929-7 . ISSN 0072-5285 .
•   Iwaniec, H. (2006), Friedlander, JB; Heath-Brown, DR; Iwaniec, H.; Kaczorowski, J. (red.), "Conversations on the Exceptional Character", Analytic Number Theory: Föreläsningar hållna vid CIME Summer School som hölls i Cetraro, Italien, 11–18 juli 2002, Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg: Springer, vol. 1891, s. 97–132, doi : 10.1007/978-3-540-36364-4_3 , ISBN 978-3-540-36364-4
•   Montgomery, HL ; Vaughan, RC (2006). Multiplikativ talteori I: Klassisk teori . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6 .
•   Zagier, DB (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie . Hochschultext (på tyska). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6 .