Sfärisk vågtransformation

Sfäriska vågtransformationer lämnar formen av sfäriska vågor såväl som optikens och elektrodynamikens lagar oföränderliga i alla tröghetsramar . De definierades mellan 1908 och 1909 av Harry Bateman och Ebenezer Cunningham , med Bateman som gav transformationen dess namn. De motsvarar den konforma gruppen av "transformationer genom reciproka radier" i förhållande till ramverket för Lie-sfärgeometrin , som var kända redan på 1800-talet. Tid används som fjärde dimension som i Minkowski-rymden , så sfäriska vågtransformationer är kopplade till Lorentz-transformationen av speciell relativitet , och det visar sig att den konforma gruppen av rumtid inkluderar Lorentz-gruppen och Poincaré-gruppen som undergrupper. Emellertid representerar endast Lorentz/Poincaré-grupperna symmetrier av alla naturlagar inklusive mekanik, medan den konforma gruppen är relaterad till vissa områden såsom elektrodynamik. Dessutom kan det visas att den konforma gruppen i planet (motsvarande Möbius-gruppen i det utökade komplexa planet ) är isomorf mot Lorentz-gruppen.

Ett specialfall av Lie-sfärgeometri är omvandlingen genom ömsesidiga riktningar eller Laguerre-inversion, som är en generator av Laguerre-gruppen . Den förvandlar inte bara sfärer till sfärer utan även plan till plan. Om tid används som fjärde dimension, påpekades en nära analogi till Lorentz-transformationen samt isomorfism till Lorentz-gruppen av flera författare som Bateman, Cartan eller Poincaré .

Transformation genom reciproka radier

Utveckling på 1800-talet

Inversioner som bevarar vinklar mellan cirklar diskuterades först av Durrande (1820), där Quetelet (1827) och Plücker (1828) skrev ner motsvarande transformationsformel, $k$ är inversionsradien:

$x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2} +y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$ .

Dessa inversioner kallades senare "transformationer genom reciproka radier", och blev mer kända när Thomson (1845, 1847) tillämpade dem på sfärer med koordinater $x,y,z$ under utvecklingen av metoden av inversion i elektrostatik . Joseph Liouville (1847) visade sin matematiska betydelse genom att visa att den tillhör de konforma transformationerna som producerar följande kvadratiska form :

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2 }+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)$ .

Liouville själv och mer utförligt Sophus Lie (1871) visade att den relaterade konforma gruppen kan differentieras ( Liouvilles sats ): Till exempel inkluderar ${\displaystyle \lambda =1} den$ euklidiska gruppen av vanliga rörelser; $\lambda \neq 1$ skala eller likhetstransformationer där koordinaterna för de tidigare transformationerna multipliceras med ${\sqrt {\lambda }}$ ; och $\lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\ höger)^{2}$ ger Thomsons transformation med reciproka radier (inversioner):

$x^{ \prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k ^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^ {2}+y^{2}+z^{2}}}$ .

Därefter utökades Liouvilles teorem till $n$ dimensioner av Lie (1871) och andra som Darboux (1878):

$\delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_ {n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)$ .

Denna grupp av konforma transformationer genom reciproka radier bevarar vinklar och omvandlar sfärer till sfärer eller hypersfärer (se Möbiustransformation , konform symmetri , speciell konform transformation ). Det är en 6-parametersgrupp i planet R ² som motsvarar Möbius-gruppen i det utökade komplexa planet , en 10-parametersgrupp i rymden R ³ och en 15-parametersgrupp i R ⁴ . I R ² representerar den bara en liten delmängd av alla konforma transformationer däri, medan den i R ²⁺ⁿ är identisk med gruppen av alla konforma transformationer (motsvarande Möbiustransformationerna i högre dimensioner) däri, i enlighet med Liouvilles teorem. Konforma transformationer i R ³ applicerades ofta på vad Darboux (1873) kallade "pentasfäriska koordinater" genom att relatera punkterna till homogena koordinater baserade på fem sfärer.

Orienterade sfärer

En annan metod för att lösa sådana sfärproblem var att skriva ner koordinaterna tillsammans med sfärens radie. Detta användes av Lie (1871) i samband med Lie-sfärgeometri som representerar en allmän ram av sfäromvandlingar (som är ett specialfall av kontakttransformationer ) som bevarar krökningslinjer och omvandlar sfärer till sfärer. Den tidigare nämnda 10-parametergruppen i R ³ relaterade till pentasfäriska koordinater utökas till 15-parametergruppen av Lie-sfärtransformationer relaterade till "hexasfäriska koordinater" (namngiven av Klein 1893) genom att lägga till en sjätte homogen koordinat relaterad till radien. Eftersom en sfärs radie kan ha ett positivt eller negativt tecken, motsvarar en sfär alltid två transformerade sfärer. Det är fördelaktigt att ta bort denna tvetydighet genom att tillskriva radien ett bestämt tecken, vilket följaktligen även ger sfärerna en bestämd orientering, så att en orienterad sfär motsvarar en transformerad orienterad sfär. Denna metod användes ibland och implicit av Lie (1871) själv och introducerades uttryckligen av Laguerre (1880). Dessutom förde Darboux (1887) transformationerna med reciproka radier till en form med vilken radien r för en sfär kan bestämmas om radien för den andra är känd:

${\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{ 2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2} }},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{ \prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned} }$

Att använda koordinater tillsammans med radien var ofta kopplat till en metod som kallas "minimal projektion" av Klein (1893), som senare kallades "isotropiprojektion" av Blaschke (1926) som betonade förhållandet till orienterade cirklar och sfärer. Till exempel, en cirkel med rektangulära koordinater $x,y$ och radie $r$ i R ² motsvarar en punkt i R ³ med koordinaterna $x,y, z$ . Denna metod var känd under en tid inom cirkelgeometri (dock utan att använda begreppet orientering) och kan differentieras ytterligare beroende på om den extra koordinaten behandlas som imaginär eller reell: $z=ir$ användes av Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867) och Darboux (1872); $z=r$ användes av Cousinery (1826), Druckenmüller (1842), och i "cyklografin" av Fiedler (1882), därför kallades den senare metoden också "cyklografisk projektion" - se E. Müller (1910) för en sammanfattning. Denna metod tillämpades också på sfärer av Darboux (1872), Lie (1871) eller Klein (1893). Låt $x,y,z,r$ och $x',y',z',r'$ vara mittkoordinaterna och radier för två sfärer i ^det tredimensionella rummet R3 . Om sfärerna vidrör varandra med samma orientering, ges deras ekvation

$(xx')^{2}+(yy')^{ 2}+(zz')^{2}-(rr')^{2}=0$ .

Inställningen $t=ir$ motsvarar dessa koordinater rektangulära koordinater i fyrdimensionellt utrymme R ⁴ :

$(xx')^{2}+(yy')^{ 2}+(zz')^{2}+(tt')^{2}=0$ .

I allmänhet visade Lie (1871) att de konforma punkttransformationerna i R ⁿ (sammansatt av rörelser, likheter och transformationer av reciproka radier) motsvarar de sfärtransformationer som är kontakttransformationer i R ^n-1 . Klein (1893) påpekade att genom att använda minimal projektion på hexasfäriska koordinater, är 15-parameters Lie-sfärtransformationerna i R ³ helt enkelt projektionerna av de 15-parameters konforma punkttransformationerna i R ⁴ , medan punkterna i R ⁴ kan ses som den stereografiska projektionen av punkterna i en sfär i R ⁵ .

Relation till elektrodynamik

Harry Bateman och Ebenezer Cunningham (1909) visade att de elektromagnetiska ekvationerna inte bara är Lorentz-invarianta, utan också skala och konformella invarianta. De är invarianta under gruppen med 15 parametrar av konforma transformationer $G_{15}$ (transformationer med reciproka radier) i R ⁴ som producerar relationen

$\delta x^{\prime 2} +\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2 }+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)$ ,

där $u=ict$ inkluderar $t$ som tidskomponent och $c$ som ljusets hastighet . Bateman (1909) noterade också ekvivalensen med de tidigare nämnda Lie-sfärtransformationerna i R ³ , eftersom radien $r$ som används i dem kan tolkas som radien $ct$ för en sfärisk våg som drar ihop sig eller expanderar med $c$ , därför kallade han dem "sfäriska vågtransformationer". Han skrev:

När vi använder Darboux representation av en punkt i $S_{4}$ med en sfärisk våg i ${\displaystyle S_{3}} blir$ gruppen $G_{15}$ gruppen av sfäriska vågtransformationer som omvandlar en sfärisk våg till en sfärisk våg. Denna grupp av transformationer har diskuterats av S. Lie; det är den grupp av transformationer som omvandlar krökningslinjer på en yta som är omsluten av sfäriska vågor till krökningslinjer på ytan som omsluts av motsvarande sfäriska vågor.

Beroende på $\lambda$ kan de differentieras i undergrupper:

(a) $\lambda =1$ motsvarar avbildningar som omvandlar inte bara sfärer till sfärer utan även plan till plan. Dessa kallas Laguerre-transformationer/inversioner som bildar Laguerre-gruppen, vilket inom fysiken motsvarar de Lorentz-transformationer som bildar 6-parameters Lorentz-gruppen eller 10-parameters Poincaré-gruppen med översättningar.

(b) $\lambda \neq 1$ representerar skala- eller likhetstransformationer genom multiplikation av rum-tidsvariablerna för Lorentz-transformationerna med en konstant faktor beroende på $\lambda$ . Till exempel, om $l={\sqrt {\lambda }}$ används, följer transformationen som Poincaré gav 1905:

$x^{\prime }=\gamma l \left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime}=\gamma l\left(tx{\ frac {v}{c^{2}}}\right)$ .

Det visades dock av Poincaré och Einstein att endast $l=1$ producerar en grupp som är en symmetri av alla naturlagar som krävs av relativitetsprincipen (Lorentzgruppen), medan gruppen av skaltransformationer är bara en symmetri av optik och elektrodynamik.

(c) Inställning $\lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+ z^{2}+u^{2}\right)^{2}$ relaterar särskilt till den breda konforma gruppen av transformationer med reciproka radier. Den består av elementära transformationer som representerar en generaliserad inversion till en fyrdimensionell hypersfär :

${\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{ 2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{ 2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{ 2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2} }},\end{aligned}}$

som blir verkliga sfäriska vågtransformationer i termer av Lie-sfärgeometri om den reella radien $ct$ används istället för $u=ict$ , alltså $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$ ges i nämnaren.

Felix Klein (1921) påpekade likheten mellan dessa relationer med Lies och hans egna forskningar från 1871, och tillade att den konforma gruppen inte har samma betydelse som Lorentz-gruppen, eftersom den förra gäller elektrodynamik medan den senare är en symmetri. av alla naturlagar inklusive mekanik. Möjligheten diskuterades under en tid, huruvida konforma transformationer tillåter omvandlingen till enhetligt accelererade ramar. Senare blev konform invarians viktig igen inom vissa områden som konform fältteori .

Lorentzgrupp isomorf till Möbiusgrupp

Ytterligare information: Möbius transformation § Lorentz transformation , och Lorentz group § Relation till Möbius gruppen

Det visar sig att även den 6-parameters konforma gruppen av R ² (dvs. Möbius-gruppen som består av automorfismer av Riemann-sfären ), som i sin tur är isomorf till 6-parametergruppen av hyperboliska rörelser (dvs. isometriska automorfismer av ett hyperboliskt utrymme). ) i R3 ^, kan fysiskt tolkas: Det är isomorft för Lorentz-gruppen.

Till exempel började Fricke och Klein (1897) med att definiera en "absolut" Cayley-metrik i termer av en endelad krökt yta av andra graden, som kan representeras av en sfär vars inre representerar hyperboliskt utrymme med ekvationen

$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4} ^{2}=0$ ,

där $z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}$ är homogena koordinater. De påpekade att det hyperboliska rummets rörelser in i sig själv också omvandlar denna sfär till sig själv. De utvecklade motsvarande transformation genom att definiera en komplex parameter $\xi$ för sfären

$\xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}$

som är kopplad till en annan parameter $\xi '$ genom substitutionen

$\xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}$

där $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ är komplexa koefficienter. De visade vidare att genom att sätta $z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X: Y:Z:1$ , ovanstående relationer antar formen i termer av enhetssfären i R ³ :

$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\ frac {X+iY}{1-Z}}$ .

som är identisk med den stereografiska projektionen av $\xi$ -planet på en sfärisk yta som redan gavs av Klein 1884. Eftersom substitutionerna $\xi ,\xi '$ är Möbius-transformationer ( Tyska : Kreisverwandtschaften ) i $\xi$ -planet eller på $\xi$ -sfären, drog de slutsatsen att genom att utföra en godtycklig rörelse av hyperboliskt rymd i sig själv, $\xi$ -sfären genomgår en Möbius-transformation, att hela gruppen av hyperboliska rörelser ger alla direkta Möbius-transformationer, och slutligen att varje direkt Möbius-transformation motsvarar en rörelse av hyperboliskt rum.

Baserat på Fricke & Kleins arbete demonstrerade Gustav Herglotz ( 1909) isomorfismen hos den gruppen hyperboliska rörelser (och följaktligen Möbius-gruppen) till Lorentzgruppen. Minkowski-metriken motsvarar nämligen ovanstående Cayley-metrik (baserat på ett verkligt koniskt snitt), om rumtidskoordinaterna identifieras med ovanstående homogena koordinater

$z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_ {4}=t$ ,

genom vilken parametern ovan blir

${\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{tz}}, \quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},$ återigen sammankopplad med substitutionen $\xi '={ \frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}$ .

Herglotz drog slutsatsen att varje sådan substitution motsvarar en Lorentz-transformation, vilket etablerar en en-till-en ^- överensstämmelse med hyperboliska rörelser i R3 . Relationen mellan Lorentz-gruppen och Cayley-metriken i hyperboliskt rymden påpekades också av Klein (1910) såväl som Pauli (1921). Motsvarande isomorfism av Möbius-gruppen till Lorentz-gruppen användes bland annat av Roger Penrose .

Transformation genom ömsesidiga riktningar

Utveckling på 1800-talet

Ovan nämndes kopplingen av konforma transformationer med koordinater inklusive sfärernas radie inom Lie-sfärgeometrin. Specialfallet $\lambda =1$ motsvarar en sfäromvandling som ges av Edmond Laguerre (1880-1885), som kallade det "transformationen genom ömsesidiga riktningar" och som lade grunden för en orienterad geometri. sfärer och plan . Enligt Darboux och Bateman diskuterades liknande relationer tidigare av Albert Ribaucour (1870) och av Lie själv (1871). Stephanos (1881) påpekade att Laguerres geometri verkligen är ett specialfall av Lies sfärgeometri. Han representerade också Laguerres orienterade sfärer av quaternions (1883).

Linjer, cirklar, plan eller sfärer med radier av viss orientering kallas av Laguerre halvlinjer, halvcirklar (cykler), halvplan, halvsfärer etc. En tangent är en halvlinje som skär en cykel vid en punkt där båda har samma riktning. Transformationen med ömsesidiga riktningar omvandlar orienterade sfärer till orienterade sfärer och orienterade plan till orienterade plan, vilket lämnar invariant det "tangentiella avståndet" för två cykler (avståndet mellan punkterna på var och en av deras gemensamma tangenter), och bevarar också krökningslinjerna . Laguerre (1882) tillämpade transformationen på två cykler under följande förhållanden: Deras radikala axel är transformationsaxeln, och deras gemensamma tangenter är parallella med två fasta riktningar av halvlinjerna som omvandlas till sig själva (Laguerre kallade denna specifika metod "förvandlingen genom ömsesidiga halvlinjer", som senare kallades "Laguerre inversion"). Genom att ställa in $R$ och $R'$ som radierna för cyklerna, och $D$ och $D'$ som avstånden för deras mittpunkter till axeln, fick:

$D^{2}- D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad DD'=\alpha (RR'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),$

med förvandlingen:

$D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\ frac {2\alpha DR\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.$

Darboux (1887) fick samma formler i olika notation (med $z=D$ och $k=\alpha$ ) i sin behandling av "transformationen genom ömsesidiga riktningar", även om han inkluderade $x$ och $y$ -koordinaterna också:

${\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k ^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}$

med

$z'+R'={\frac {1 +k}{1-k}}(zR),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),$

följaktligen fick han förhållandet

$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\ primtal 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$ .

Som nämnts ovan kan orienterade sfärer i R ³ representeras av punkter i fyrdimensionell rymd R ⁴ med minimal (isotropi) projektion, vilket blev särskilt viktigt i Laguerres geometri. Till exempel baserade E. Müller (1898) sin diskussion om orienterade sfärer på det faktum att de kan kartläggas på punkterna i en plan mångfald av fyra dimensioner (som han liknade med Fiedlers "cyklografi" från 1882) . Han jämförde systematiskt transformationerna med reciproka radier (kallar det "inversion vid en sfär") med transformationerna med reciproka riktningar (kallar det "inversion vid ett plan sfärkomplex"). Efter Müllers papper Smith (1900) Laguerres förvandling och den relaterade "gruppen av geometrin för ömsesidiga riktningar". Med anspelning på Kleins (1893) behandling av minimal projektion, påpekade han att denna grupp "helt enkelt är isomorf med gruppen av alla förskjutningar och symmetritransformationer i rymden av fyra dimensioner". Smith fick samma transformation som Laguerre och Darboux i olika notation, och kallade det "inversion in i ett sfäriskt komplex":

$p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={ \frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R$

med relationerna

$\kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{ 2}.$

Laguerre inversion och Lorentz transformation

År 1905 påpekade både Poincaré och Einstein att Lorentz-transformationen av speciell relativitet (inställning $c=1$ )

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2} }}}$

lämnar relationen $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$ invariant. Einstein betonade poängen att genom denna transformation omvandlas en sfärisk ljusvåg i en ram till en sfärisk ljusvåg i en annan. Poincaré visade att Lorentz-transformationen kan ses som en rotation i det fyrdimensionella rummet med tiden som fjärde koordinat, där Minkowski fördjupade denna insikt mycket ytterligare (se History of special relativity ).

Som framgår ovan lämnar även Laguerres transformation genom ömsesidiga riktningar eller halvlinjer – senare kallad Laguerre-inversion – i den form som ges av Darboux (1887) uttrycket $x^{2 }+y^{2}+z^{2}-R^{2}$ invariant. Därefter noterades relationen till Lorentz-transformationen av flera författare. Bateman (1910) hävdade till exempel att denna transformation (som han tillskrev Ribaucour) är "identisk" med Lorentz-transformationen. Speciellt hävdade han (1912) att varianten som gavs av Darboux (1887) motsvarar Lorentz-transformationen i $z$ -riktningen, om $R=ct$ , $R'=ct'$ och $k$ -termerna ersätts med hastigheter. Bateman (1910) skissade också geometriska representationer av relativistiska ljussfärer med hjälp av sådana sfäriska system. Emellertid, Kubota (1925) svarade Bateman genom att hävda att Laguerre-inversionen är ofrivillig medan Lorentz-transformationen inte är det. Han drog slutsatsen att för att göra dem likvärdiga måste Laguerre-inversionen kombineras med en omvänd riktning av cyklerna.

Det specifika sambandet mellan Lorentz-transformationen och Laguerre-inversionen kan också demonstreras enligt följande (se HR Müller (1948) för analoga formler i olika notation). Laguerres inversionsformler från 1882 (motsvarande Darboux 1887) lyder:

$D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\ frac {2\alpha DR\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.$

genom att sätta

${\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w$

det följer

${\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{ 2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},$

slutligen genom att sätta $D=x,D'=x',R=t,R'=t'$ blir Laguerre-inversionen mycket liknande Lorentz-transformationen förutom att uttrycket $t-vx$ är omvänt till $wx-t$ :

$x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}} },\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}$ .

Enligt Müller kan Lorentz-transformationen ses som produkten av ett jämnt antal sådana Laguerre-inversioner som ändrar tecknet. Först genomförs en inversion i plan $\pi _{1}$ som lutar i förhållande till planet $\pi$ under en viss vinkel, följt av ytterligare en inversion tillbaka till $\pi$ . Se avsnitt #Laguerre-grupp isomorf till Lorentz-gruppen för mer information om sambandet mellan Laguerre-inversionen till andra varianter av Laguerre-transformationer.

Lorentz transformation inom Laguerre geometri

Timerding (1911) använde Laguerres koncept med orienterade sfärer för att representera och härleda Lorentz-transformationen. Givet en sfär med radien $r$ , med $x$ som avståndet mellan dess centrum och mittplanet, fick han relationerna till en motsvarande sfär

${\display +r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'} {x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {xr}{x+r}},}$

resulterar i omvandlingen

${\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r -\lambda x.$

Genom att sätta $\lambda =v/c$ och $r=ct$ blir det Lorentz-transformationen.

Efter Timerding och Bateman analyserade Ogura (1913) en Laguerre-transformation av formen

$display \ =\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\ quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{ \frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$ ,

som blir Lorentz-förvandlingen med

   ${{\displaystyle {\begin }x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&= ct',\end{aligned}}}$$\lambda ={\frac {v}{c}}$ .

Han konstaterade att "Laguerre-transformationen i mångfald av sfärer är likvärdig med Lorentz-transformationen i mångfald i rumstid".

Laguerre-gruppen isomorf till Lorentz-gruppen

Som visas ovan kan gruppen av konforma punkttransformationer i Rn (sammansatt av rörelser, likheter och inversioner) relateras genom minimal projektion till gruppen av ^{kontakttransformationer} i Rn - ¹ som transformerar cirklar eller sfärer till andra cirklar eller sfärer. Dessutom påpekade Lie (1871, 1896) att det i R ³ finns en 7-parameters undergrupp av punkttransformationer sammansatt av rörelser och likheter, som genom att använda minimal projektion motsvarar en 7-parameters undergrupp av kontakttransformationer vid R ² -transformation . cirklar till cirklar. Dessa relationer studerades ytterligare av Smith (1900), Blaschke (1910), Coolidge (1916) och andra, som påpekade kopplingen till Laguerres geometri av ömsesidiga riktningar relaterade till orienterade linjer, cirklar, plan och sfärer. Därför kallade Smith (1900) den "gruppen av geometrin av ömsesidiga riktningar", och Blaschke (1910) använde uttrycket "Laguerre-gruppen". Den "förlängda Laguerre-gruppen" består av rörelser och likheter, med 7 parametrar i R ² som transformerar orienterade linjer och cirklar, eller 11 parametrar i R ³ som transformerar orienterade plan och sfärer. Om likheter exkluderas, blir det den "begränsade Laguerre-gruppen" som har 6 parametrar i R ² och 10 parametrar i R ³ , bestående av orienteringsbevarande eller orienteringsomkastande rörelser, och bevarande av det tangentiella avståndet mellan orienterade cirklar eller sfärer. Därefter blev det vanligt att termen Laguerre-gruppen endast syftar på den begränsade Laguerre-gruppen. Det noterades också att Laguerre-gruppen är en del av en bredare grupp som bevarar tangentiella avstånd, kallad "equilonggruppen" av Scheffers (1905).

I R ² lämnar Laguerre-gruppen invariant relationen ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}} ,$ som kan utökas till godtycklig R ⁿ likaså. Till exempel, i R ³ lämnar den invariant relationen $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{ 2}$ . Detta motsvarar relationen $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}$ i R ⁴ genom att använda minimal (isotropi) projektion med imaginär radiekoordinat, eller cyklografisk projektion (i beskrivande geometri ) med verklig radiekoordinat. Transformationerna som bildar Laguerre-gruppen kan ytterligare differentieras till "direkta Laguerre-transformationer" som är relaterade till rörelser som bevarar både det tangentiella avståndet och tecknet; eller "indirekta Laguerre-transformationer" som är relaterade till orienterings-reverserande rörelser, bevara det tangentiella avståndet med tecknet omvänt. Laguerre-inversionen som först gavs av Laguerre 1882 är ofrivillig , så den tillhör de indirekta Laguerre-transformationerna. Laguerre själv diskuterade inte gruppen relaterade till hans inversion, men det visade sig att varje Laguerre-transformation kan genereras av högst fyra Laguerre-inversioner och varje direkt Laguerre-transformation är produkten av två ofrivilliga transformationer, så Laguerre-inversioner är av särskild betydelse eftersom de genererar operatörer för hela Laguerre-gruppen.

Det noterades att Laguerre-gruppen verkligen är isomorf till Lorentz-gruppen (eller Poincaré-gruppen om översättningar ingår), eftersom båda grupperna lämnar invariant formen $dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}$ . Efter den första jämförelsen av Lorentz-transformationen och Laguerre-inversionen av Bateman (1910) som nämnts ovan , påpekades likvärdigheten mellan båda grupperna av Cartan 1912 och 1914, och han utökade den 1915 (publicerad 1955) på franska. version av Kleins uppslagsverk . Även Poincaré (1912, publicerad 1921) skrev:

Mr. Cartan har nyligen gett ett märkligt exempel. Vi känner till betydelsen inom matematisk fysik av vad som har kallats Lorentz-gruppen; det är denna grupp som våra nya idéer om relativitetsprincipen och elektronens dynamik bygger på. Å andra sidan introducerade Laguerre en gång i geometrin en grupp transformationer som förändrar sfärerna till sfärer. Dessa två grupper är isomorfa, så att matematiskt visar dessa två teorier, den ena fysiska och den andra geometrisk, ingen väsentlig skillnad.

— Henri Poincaré, 1912

Andra som noterade detta samband är Coolidge (1916), Klein & Blaschke (1926), Blaschke (1929), HR Müller , Kunle & Fladt (1970), Benz (1992). Det påpekades nyligen:

En Laguerre-transformation (L-transform) är en avbildning som är bijektiv på uppsättningarna av orienterade plan respektive orienterade sfärer och bevarar tangens mellan plan och sfär. L-transformer är lättare att förstå om vi använder den så kallade cyklografiska modellen av Laguerre geometri. Där representeras en orienterad sfär ${\displaystyle S} som punkt$$\mathbf {S} \operatörsnamn {\text{:=}} (\mathbf {m } ,R)\in \mathbb {R} ^{4}$ . Ett orienterat plan $P$ i $E^{3}$ kan tolkas som mängden av alla orienterade sfärer som tangerar $P$ . Genom att kartlägga $P$ via denna uppsättning sfärer till $\mathbb {R} ^{4}$ hittar man ett hyperplan i $\mathbb {R} ^{4}$ som är parallell med ett tangenthyperplan för konen $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3} ^{2}-x_{4}^{2}=0$ . I den cyklografiska modellen ses en L-transform som en speciell affin karta (Lorentz-transformation),...

— Pottmann, Grohs, Mitra (2009)

Se även

• Historien om Lorentz transformationer

Primära källor

• Bateman, Harry (1909) [1908]. "De konforma transformationerna av ett utrymme med fyra dimensioner och deras tillämpningar på geometrisk optik" . Proceedings of the London Mathematical Society . 7 : 70–89. doi : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
• Bateman, Harry (1910) [1909]. "Omvandlingen av de elektrodynamiska ekvationerna" . Proceedings of the London Mathematical Society . 8 : 223-264. doi : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Bateman, Harry (1910a). "Den fysiska aspekten av tid" . Manchester memoarer . 54 (14): 1–13.
• Bateman, Harry (1910b). "Förhållandet mellan elektromagnetism och geometri" . Filosofisk tidskrift . 20 (118): 623 -628. doi : 10.1080/14786441008636944 .
•   Bateman, Harry (1912) [1910]. "Några geometriska satser kopplade till Laplaces ekvation och ekvationen för vågrörelse" . American Journal of Mathematics . 34 (3): 325–360. doi : 10.2307/2370223 . JSTOR 2370223 .
•   Blaschke, Wilhelm (1910). "Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der Euklidischen Geometrie" . Monatshefte für Mathematik und Physik . 21 (1): 3–60. doi : 10.1007/bf01693218 . S2CID 120182503 .
• Cartan, Élie (1912). "Sur les groupes de transformation de contact et la Cinématique nouvelle" . Société de Mathématique Frankrike - Comptes Rendus des Séances : 23.
• Cartan, Élie (1914). "La théorie des groupes". Revue du Mois : 452–457.
• Cunningham, Ebenezer (1910) [1909]. "Relativitetsprincipen i elektrodynamik och en utvidgning därav" . Proceedings of the London Mathematical Society . 8 : 77–98. doi : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• Darboux, Gaston (1872). "Sur les relationer entre les groupes de points, de cercles et de sphères" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 1 :323-392. doi : 10.24033/asens.87 .
• Darboux, Gaston (1878). "Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux. Troisième partie" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 : 275-348 . doi : 10.24033/asens.164 .
• Darboux, Gaston (1887). Leçons sur la théorie générale des ytor. Premiärfest . Paris: Gauthier-Villars.
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [ Wikikälla översättning: Om kroppar som ska betecknas som "stela" ur relativitetsprincipens ståndpunkt ], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP...336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Felix Klein (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , Teubner, Leipzig; Engelsk översättning: Föreläsningar om ikosaedern och lösningen av ekvationer av femte graden ( 1888)
•   Klein, Felix (1910). "Öber die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Gesammelte Mathematische Abhandlungen   . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . Vol. 19. s. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . ISBN 978-3-642-51898-0 . Omtryckt i   Klein, Felix (1921). "Öber die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe". Gesammelte mathematische Abhandlungen . Vol. 1. s. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . ISBN 978-3-642-51898-0 . Engelsk översättning av David Delphenich: On the geometric foundations of the Lorentz group
• Kubota, Tadahiko (1925). "Öber die (2-2)-deutigen quadratischen Verwandtschaften V". Vetenskapsrapporter från Tôhoku Imperial University . 14 : 155–164. .
• Laguerre, Edmond (1881). "Sur la transformation par directions réciproques" . Comptes Rendus . 92 : 71–73.
• Laguerre, Edmond (1882). "Transformationer par semi-droites réciproques" . Nouvelles annales de mathématiques . 1 :542-556.
• Laguerre, Edmond (1905). "Samling av papper utgivna mellan 1880 och 1885" . Œuvres de Laguerre, vol. 2 . Paris: Gauthier-Villars. s. 592–684.
• Lie, Sophus (1871). "Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht" . Göttinger Nachrichten : 191–209.
•   Lie, Sophus (1872). "Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen" . Matematiska Annalen . 5 : 145-256. doi : 10.1007/bf01446331 . S2CID 122317672 . Engelsk översättning av David Delphenich: Om komplex - i synnerhet linje- och sfärkomplex - med tillämpningar på teorin om partiella differentialekvationer
• Lie, Sophus ; Scheffers, Georg (1896). Geometrie der Berührungstransformationen . Leipzig: BG Teubner.
• Liouville, Joseph (1847). "Note au sujet de l'article precédent" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 12 : 265–290.
• Liouville, Joseph (1850a). "Théorème sur l'équation dx²+dy²+dz²=λ(dα²+dβ²+dγ²)" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 15 :103.
• Liouville, Joseph (1850b). "Extension au cas des trois dimensions de la question du tracé géographique" . I Gaspard Monge (red.). Application de l'analyse à la Géométrie . Paris: Bachelier. s. 609–616.
•   Müller, Emil (1898). "Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden" . Monatshefte für Mathematik und Physik . 9 (1): 269–315. doi : 10.1007/bf01707874 . S2CID 121786469 .
•   Müller, Hans Robert (1948). "Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie" . Monatshefte für Mathematik und Physik . 52 (4): 337–353. doi : 10.1007/bf01525338 . S2CID 120150204 .
• Ogura, Kinnosuke (1913). "Om Lorentz-transformationen med några geometriska tolkningar". Vetenskapsrapporter från Tôhuku-universitetet . 2 : 95–116.
•   Poincaré, Henri (1906) [1905], "Sur la dynamique de l'électron" [Wikikälla översättning: On the Dynamics of the Electron ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Bibcode : 1906RCMP... 21..129P , doi : 10.1007/BF03013466 , S2CID 120211823
•   Poincaré, Henri (1921) [1912]. "Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des sciences de l'Université de Paris)" . Acta Mathematica . 38 (1): 137–145. doi : 10.1007/bf02392064 . S2CID 122517182 . . Skriven av Poincaré 1912, tryckt i Acta Mathematica 1914 men publicerad för sent 1921.
• Ribaucour, Albert (1870). "Sur la déformation des ytor" . Comptes Rendus . 70 : 330–333.
•   Smith, Percey F. (1900). "Om en förvandling av Laguerre" . Annals of Mathematics . 1 (1/4): 153–172. doi : 10.2307/1967282 . JSTOR 1967282 .
• Stephanos, C. (1881). "Sur la géométrie des sphères" . Comptes Rendus . 92 : 1195-1197.
•   Stephanos, C. (1883). "Sur la théorie des quaternions" . Matematiska Annalen . 7 (4): 589–592. doi : 10.1007/bf01443267 . S2CID 179178015 .
• Timerding, HE (1912). "Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis" . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 21 : 274–285.

---

Sekundära källor

Läroböcker, encyklopediska poster, historiska undersökningar:

• Bateman, Harry (1915). Den matematiska analysen av elektriska och optiska vågrörelser på basis av Maxwells ekvationer . Cambridge: University Press.
•   Benz, Walter (2005) [1992]. Klassiska geometrier i moderna sammanhang: Geometry of Real Inner Product Spaces Tredje upplagan . Springer. s. 133–175. ISBN 978-3034804202 .
•   Blaschke, Wilhelm (1929). Thomsen, Gerhard (red.). Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie Bd. 3 . Berlin: Springer. doi : 10.1007/978-3-642-50823-3 . hdl : 2027/mdp.39015017405492 . ISBN 978-3-642-50513-3 .
• Cartan, Élie ; Fano, Gino (1915). "La théorie des groupes continues et la géométrie" . Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées . 3 (1): 39–43. (Endast sidorna 1–21 publicerades 1915, hela artikeln inklusive s. 39–43 om grupperna Laguerre och Lorentz publicerades postumt 1955 i Cartans samlade tidningar och återgavs i Encyclopédie 1991.)
•   Cecil, Thomas E. (2008) [1992], "Laguerre geometri", Lie sphere geometri , Springer, s. 37–46, ISBN 978-0387746555
• Coolidge, Julian (1916). En avhandling om cirkeln och sfären . Oxford: Clarendon Press.
• Cunningham, Ebenezer (1914). Relativitetsprincipen . Cambridge: University Press.
•   Fano, Gino (1907). "Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip" . Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften . Vol. 3.1.1. s. 289–388. doi : 10.1007/978-3-663-16027-4_5 . ISBN 978-3-663-15456-3 .
• Robert Fricke & Felix Klein (1897), Vorlesungen über die Theorie der autormorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Teubner, Leipzig
•   Kastrup, HA (2008). "Om framstegen av konforma transformationer och deras associerade symmetrier i geometri och teoretisk fysik". Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Bibcode : 2008AnP...520..631K . doi : 10.1002/andp.200810324 . S2CID 12020510 .
• Klein, Felix (1893). Einleitung in die höhere Geometrie I . Göttingen: Göttingen.
• Klein, Felix ; Blaschke, Wilhelm (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie . Berlin: Springer. (Kleins föreläsningar från 1893 uppdaterade och redigerade av Blaschke 1926.)
• Kunle H.; Fladt K. (1926). "Erlangen-program och högre geometri – Laguerre-geometri". I Heinrich Behnke (red.). Matematiks grunder: geometri . MIT Press. s. 460–516. {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
•   Müller, Emil (1910). "Die verschiedenen Koordinatensysteme" . Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften . Vol. 3.1.1. s. 596–770. doi : 10.1007/978-3-663-16027-4_9 . ISBN 978-3-663-15456-3 .
• Pedoe, Daniel (1972). "En bortglömd geometrisk transformation". L'Enseignement Mathématique . 18 : 255–267. doi : 10.5169/seals-45376 .
•   Rougé, André (2008). Relativité restreinte: la bidrag d'Henri Poincaré . Editions Ecole Polytechnique. ISBN 978-2730215251 .
• Walter, Scott (2012). "Ljusfigurer i relativitetsteoriens tidiga historia" . Att synas i Einstein Studies, D. Rowe, red., Basel: Birkhäuser .
• Warwick, Andrew (1992). "Cambridge matematik och Cavendish fysik: Cunningham, Campbell och Einsteins relativitetsteori 1905–1911 Del I: Teorins användning". Studier i historia och vetenskapsfilosofi del A . 23 (4): 625–656. Bibcode : 1992SHPSA..23..625W . doi : 10.1016/0039-3681(92)90015-X .
•   Warwick, Andrew (2003). Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics . Fysik idag . Vol. 57. Chicago: University of Chicago Press. s. 58 . Bibcode : 2004PhT....57i..58W . doi : 10.1063/1.1809094 . ISBN 978-0-226-87375-6 .

---