Lokal zeta-funktion

I talteorin definieras den lokala zetafunktionen $Z (V, s)$ (ibland kallad den kongruenta zetafunktionen eller Hasse–Weil zetafunktionen ) som

Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{ \infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)

där $V$ är en icke-singular $n$ -dimensionell projektiv algebraisk variation över fältet $F q$ med $q$ element och $N m$ är antalet punkter av $V$ definierat över den finita fältförlängningen $F q m$ av $F q$ .

Att göra variabeltransformationen $u = q - s,$ ger

{\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1} ^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)

som den formella potensserien i variabeln $u$ .

På motsvarande sätt definieras den lokala zetafunktionen ibland enligt följande:

(1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,

(2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\summa _{m=1}^{\infty }N_{m} u^{m-1}\ .

Med andra ord, den lokala zetafunktionen $Z (V, u)$ med koefficienter i det finita fältet $F q$ definieras som en funktion vars logaritmiska derivata genererar antalet $N m$ lösningar av ekvationen som definierar $V$ i graden $m$ förlängning $F q m .$

Formulering

Givet ett ändligt fält F , finns det, upp till isomorfism , endast ett fält F _k med

[F_{k}:F]=k\,

,

för k = 1, 2, ... . Givet en uppsättning polynomekvationer – eller en algebraisk variant V – definierad över F , kan vi räkna antalet

N_{k}\,

av lösningar i F _k och skapa den genererande funktionen

G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+ N_{3}t^{3}/3+\cdots \,

.

Den korrekta definitionen för Z ( t ) är att sätta log Z lika med G , alltså

Z=\exp(G(t))\,

och Z (0) = 1, eftersom G (0) = 0, och Z ( t ) är a priori en formell potensserie .

Den logaritmiska derivatan

Z'(t)/Z(t)\,

är lika med genereringsfunktionen

G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^ {2}+\cdots \,

.

Exempel

Antag till exempel att alla Nk _; är 1 detta händer till exempel om vi börjar med en ekvation som X = 0, så att vi geometriskt tar V som en punkt. Sedan

G(t)=-\log(1-t)

är expansionen av en logaritm (för | t | < 1). I det här fallet har vi

Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .

För att ta något mer intressant, låt V vara den projektiva linjen över F . Om F har q element, så har detta q + 1 poäng, inklusive den ena punkten i oändligheten . Därför har vi

N_{k}=q^{k}+1

och

G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)

för | t | tillräckligt liten, och därför

Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .

Den första studien av dessa funktioner var i 1923 års avhandling av Emil Artin . Han erhöll resultat för fallet med en hyperelliptisk kurva , och förmodade de ytterligare huvudpunkterna i teorin som tillämpas på kurvor. Teorin utvecklades sedan av FK Schmidt och Helmut Hasse . De tidigaste kända icke-triviala fallen av lokala zetafunktioner var implicita i Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae , artikel 358. Där har vissa speciella exempel på elliptiska kurvor över ändliga fält med komplex multiplikation sina poäng räknade med hjälp av cyklotomi .

För definitionen och några exempel, se även.

Motivationer

Sambandet mellan definitionerna av G och Z kan förklaras på ett antal sätt. (Se till exempel den oändliga produktformeln för Z nedan.) I praktiken gör det Z till en rationell funktion av t , något som är intressant även i fallet med V en elliptisk kurva över ändligt fält.

De lokala Z zeta-funktionerna multipliceras för att få globala $\zeta$ zeta-funktioner,

$\zeta =\prod Z$

Dessa involverar i allmänhet olika finita fält (till exempel hela familjen av fält Z / p Z som p löper över alla primtal ).

ersätts variabeln t med p ^−s , där s är den komplexa variabeln som traditionellt används i Dirichlet-serien . (För detaljer se Hasse–Weil zeta-funktion .)

De globala produkterna av Z i de två fall som användes som exempel i föregående avsnitt kommer därför ut som $\zeta (s)$ och $\zeta ( s)\zeta (s-1)$ efter att ha låtit $q=p$ .

Riemanns hypotes för kurvor över ändliga fält

För projektiva kurvor C över F som är icke-singular , kan det visas att

Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)} }\ ,

med P ( t ) ett polynom, av grad 2 g , där g är släktet av C . Omskrivning

P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t) \ ,

Riemann -hypotesen för kurvor över ändliga fälttillstånd

|\omega _{i}|=q^{1/2}\ .

Till exempel, för fallet med den elliptiska kurvan finns det två rötter, och det är lätt att visa att de absoluta värdena för rötterna är q ^1/2 . Hasses teorem är att de har samma absoluta värde; och det får omedelbara konsekvenser för antalet poäng.

André Weil bevisade detta för det allmänna fallet, runt 1940 ( Comptes Rendus anteckning, april 1940): han tillbringade mycket tid under åren efter det med att skriva upp den inblandade algebraiska geometrin . Detta ledde honom till de allmänna Weils gissningarna . Alexander Grothendieck utvecklade schemateori i syfte att lösa dessa. En generation senare Pierre Deligne beviset. (Se étale cohomology för de grundläggande formlerna för den allmänna teorin.)

Allmänna formler för zeta-funktionen

Det är en följd av Lefschetz spårformel för Frobenius-morfismen att

Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c }^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.

Här är $X$ ett separerat schema av finit typ över det finita fältet F med $q$ element, och Frob _q är den geometriska Frobenius som verkar på $\ell$ -adic étale kohomologi med kompakt stöder ${\overline {X}}$ , höjningen av $X$ till den algebraiska stängningen av fältet F . Detta visar att zeta-funktionen är en rationell funktion av $t$ .

En oändlig produktformel för $Z(X,t)$ är

Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.

Här är produktområdena över alla stängda punkter x av X och deg( x ) är graden av x . Den lokala zetafunktionen Z(X, t) ses som en funktion av den komplexa variabeln s via ändringen av variablerna q ^−s .

I fallet där X är sorten V som diskuterats ovan är de slutna punkterna ekvivalensklasserna x=[P] för punkterna P på ${\displaystyle {\overline {V}}} ,$ där två punkter är ekvivalenta om de är konjugat över F . Graden av x är graden av fältförlängningen av F som genereras av koordinaterna för P . Den logaritmiska derivatan av den oändliga produkten Z(X, t) kan lätt ses vara den genererande funktionen som diskuterats ovan, nämligen

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

.

Se även