Replikatorekvationen

Inom matematik är replikatorekvationen en deterministisk monoton icke-linjär och icke-innovativ speldynamik som används i evolutionär spelteori . Replikatorekvationen skiljer sig från andra ekvationer som används för att modellera replikering, såsom kvasispecies -ekvationen, genom att den tillåter fitnessfunktionen att inkorporera fördelningen av populationstyperna snarare än att ställa in lämpligheten för en viss typ konstant. Denna viktiga egenskap gör att replikatorekvationen kan fånga essensen av urvalet . Till skillnad från kvasiartsekvationen, innehåller inte replikatorekvationen mutation och kan därför inte förnya nya typer eller rena strategier.

Ekvation

Den mest allmänna kontinuerliga formen av replikatorekvationen ges av differentialekvationen :

${\dot {x_{i}}$

där $x_{i}$ är andelen typ $i$ i populationen, $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ är vektorn för fördelningen av typer i populationen, $f_{i}(x)}$ är lämpligheten för typ $i$ (som är beroende på populationen), och $\phi (x)$ är den genomsnittliga populationens kondition (givet av det viktade medelvärdet av konditionen för de $n$ -typerna i populationen). Eftersom elementen i populationsvektorn $x$ per definition summerar till enhet, definieras ekvationen på det n-dimensionella simplexet .

Replikatorekvationen antar en enhetlig populationsfördelning; det vill säga att den inte införlivar befolkningsstrukturen i träningen. Fitnesslandskapet inkluderar populationsfördelningen av typer, i motsats till andra liknande ekvationer, såsom kvasiartsekvationen.

Vid tillämpning är populationer i allmänhet ändliga, vilket gör den diskreta versionen mer realistisk. Analysen är svårare och mer beräkningsintensiv i den diskreta formuleringen, så den kontinuerliga formen används ofta, även om det finns betydande egenskaper som går förlorade på grund av denna utjämning. Observera att den kontinuerliga formen kan erhållas från den diskreta formen genom en begränsande process.

För att förenkla analysen antas fitness ofta bero linjärt på populationsfördelningen, vilket gör att replikatorekvationen kan skrivas i formen:

${\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i} -x^{T}Ax\höger)$

där utdelningsmatrisen $A$ innehåller all konditionsinformation för populationen: den förväntade utdelningen kan skrivas som $\left(Ax\right)_{i}$ och den genomsnittliga konditionen av befolkningen som helhet kan skrivas som $x^{T}Ax$ . Det kan visas att förändringen i förhållandet mellan två proportioner $x_{i}/x_{j}$ med avseende på tiden är:

$${d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_ {j}}}\right)={x_{i} \över {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]$$

Med andra ord, förändringen i förhållandet drivs helt av skillnaden i kondition mellan typerna.

Härledning av deterministisk och stokastisk replikatordynamik

Antag att antalet individer av typen $i$ är $N_{i}$ och att det totala antalet individer är $N$ . Definiera proportionen av varje typ som ska vara $x_{i}=N_{i}/N$ . Antag att förändringen i varje typ styrs av geometrisk Brownsk rörelse :

$$dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}$$

där $f_{i}$ är konditionen associerad med typ $i$ . Den genomsnittliga konditionen för typerna $\phi =x^{T}f$ . Wienerprocesserna antas vara okorrelerade . För $x_{i}(N_{1},...,N_{m})$ ger Itôs lemma oss då:

$${\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&= {\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j }\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2 }}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}$$

De partiella derivatorna är då:

$${\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{ 2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}$$

där $\delta _{ij}$ är Kronecker deltafunktion . Dessa relationer innebär att:

$$dx_{i}={dN_{ i} \över {N}}-x_{i}\summa _{j}{dN_{j} \över {N}}-{(dN_{i})^{2} \över {N^{2} }}+x_{i}\summa _{j}{(dN_{j})^{2} \över {N^{2}}}$$

Var och en av komponenterna i denna ekvation kan beräknas som:

$${\begin{ justerad}{dN_{i} \över {N}}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\summa _{j }{dN_{j} \över {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)\\ -{(dN_{i})^{2} \över {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i} \sum _{j}{(dN_{j})^{2} \över {N^{2}}}&=x_{i}\left(\summa _{j}\sigma _{j}^{ 2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}$$

Sedan ges den stokastiska replikatordynamikekvationen för varje typ av:

$$_ \displaystyle dx_{i}=x_{i}\left(f_{i}-\phi -\sigma _{i}^{2}x_{i}+\sum _{j}\sigma _{j}^ {2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\summa _{j}\sigma _{j}x_{j} dW_{j}\right)}$$

Om vi ​​antar att termerna $\sigma _{i}$ är identiskt noll, återställs den deterministiska replikatordynamikens ekvation.

Analys

Huvudartikel: Evolutionärt stabilt tillstånd

Analysen skiljer sig åt i de kontinuerliga och diskreta fallen: i det förra används metoder från differentialekvationer, medan metoderna i det senare tenderar att vara stokastiska. Eftersom replikatorekvationen är icke-linjär är en exakt lösning svår att få fram (även i enkla versioner av den kontinuerliga formen) så ekvationen analyseras vanligtvis i termer av stabilitet. Replikatorekvationen (i dess kontinuerliga och diskreta former) uppfyller den evolutionära spelteorins folksats som kännetecknar stabiliteten i ekvationens jämvikter. Lösningen av ekvationen ges ofta av uppsättningen av evolutionärt stabila tillstånd i befolkningen.

I allmänna icke degenererade fall kan det finnas högst ett inre evolutionärt stabilt tillstånd (ESS), även om det kan finnas många jämvikter på gränsen till simplexen. Alla simplexens ansikten är framåt-invarianta, vilket motsvarar bristen på innovation i replikatorekvationen: när en strategi väl har utrotats finns det inget sätt att återuppliva den.

Fasporträttlösningar för den kontinuerliga linjära konditionsreplikatorekvationen har klassificerats i två- och tredimensionella fall. Klassificering är svårare i högre dimensioner eftersom antalet distinkta porträtt ökar snabbt.

Relationer till andra ekvationer

Den kontinuerliga replikatorekvationen på $n$ -typer är ekvivalent med den generaliserade Lotka–Volterra-ekvationen i $n-1$ dimensioner. Transformationen görs genom förändring av variabler:

${\displaystyle x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\summa _{j =1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1} x n =$

$x_ {n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},}$

där $y_{i}$ är Lotka–Volterra-variabeln. Den kontinuerliga replikatordynamiken motsvarar också prisekvationen .

Diskret replikatorekvation

När man betraktar en ostrukturerad oändlig population med icke-överlappande generationer, bör man arbeta med de diskreta formerna av replikatorekvationen. Matematiskt, två enkla fenomenologiska versioner---

$'_{i}=x_{i}+x_{i}\left [\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {typ~I),}}}$

$x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{ T}Yxa}}\höger]\,({\rm {typ~II),}}$

--- överensstämmer med den darwinistiska grundsatsen om naturligt urval eller något liknande evolutionärt fenomen. Här står prime för nästa tidssteg. Emellertid sätter ekvationernas diskreta karaktär gränser för payoff-matriselementen. Intressant nog, för det enkla fallet med två-spelare-två-strategispel, är typ I-replikatorkartan kapabel att visa periodfördubbling som leder till kaos och den ger också en ledtråd om hur man generaliserar konceptet med det evolutionära stabila tillståndet för att tillgodose kartans periodiska lösningar.

Generaliseringar

En generalisering av replikatorekvationen som innehåller mutation ges av replikator-mutatorekvationen, som har följande form i den kontinuerliga versionen:

${\dot {x_{i}}}=\summa _{j=1}^ {n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},$

där matrisen $Q$ ger övergångssannolikheterna för mutationen av typ $j$ till typ ${\displaystyle i} ,$ f $\displaystyle f_{i}}$ är lämpligheten för $i^{th}$ och $\phi$ är befolkningens genomsnittliga kondition. Denna ekvation är en samtidig generalisering av replikatorekvationen och kvasiartsekvationen , och används i den matematiska analysen av språk.

Den diskreta versionen av replikator-mutatorekvationen kan ha två enkla typer i linje med de två replikatorkartorna skrivna ovan:

$x'_{i}=x_{i}+\summa _{j =1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},$

och

$x'_{i}=x_{i}+{\frac {\sum _{ j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},$

respektive.

Replikatorekvationen eller replikator-mutatorekvationen kan utökas till att inkludera effekten av fördröjning som antingen motsvarar den fördröjda informationen om befolkningstillståndet eller för att realisera effekten av interaktion mellan spelare. Replikatorekvationen kan också enkelt generaliseras till asymmetriska spel . En nyligen genomförd generalisering som inkluderar befolkningsstruktur används i evolutionär grafteori .

Vidare läsning

• Cressman, R. (2003). Evolutionary Dynamics and Extensive Form Games The MIT Press.
• Taylor, PD; Jonker, L. (1978). "Evolutionära stabila strategier och speldynamik". Mathematical Biosciences , 40 : 145-156.
• Sandholm, William H. (2010). Befolkningsspel och evolutionär dynamik . Ekonomiskt lärande och social utveckling, MIT Press.

externa länkar

• Izquierdo, SS & Izquierdo LR (2011). Onlineprogramvara: Replicator-Mutator Dynamics med tre strategier