Produktintegral

En produktintegral är en produktbaserad motsvarighet till den vanliga summabaserade integralen av kalkyl . Den första produktintegralen ( typ I nedan) utvecklades av matematikern Vito Volterra 1887 för att lösa system med linjära differentialekvationer . Andra exempel på produktintegraler är den geometriska integralen ( typ II nedan), den bigeometriska integralen ( typ III nedan) och några andra integraler av icke-newtonsk kalkyl.

Produktintegraler har funnit användning inom områden från epidemiologi ( Kaplan-Meier-estimatorn ) till stokastisk populationsdynamik med hjälp av multiplikationsintegraler (multigraler), analys och kvantmekanik . Den geometriska integralen , tillsammans med den geometriska derivatan , är användbar i bildanalys och i studiet av tillväxt/förfallsfenomen (t.ex. i ekonomisk tillväxt , bakterietillväxt och radioaktivt sönderfall ). Den bigeometriska integralen , tillsammans med den bigeometriska derivatan, är användbar i vissa tillämpningar av fraktaler och i teorin om elasticitet inom ekonomi.

Den här artikeln använder beteckningen "produkt" $\prod$ för produktintegrering istället för "integral" $\int$ (vanligtvis modifierad av en överlagd "tider"-symbol eller bokstaven P) som gynnas av Volterra och andra . En godtycklig klassificering av typer används också för att skapa ordning på området.

Grundläggande definitioner

Den klassiska Riemann-integralen av en funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ kan definieras av relationen

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\Delta x\till 0}\summa f(x_{i})\,\Delta x,$

där gränsen tas över alla partitioner i intervallet $[a,b]$ vars normer närmar sig noll.

Grovt sett är produktintegraler lika, men tar gränsen för en produkt istället för gränsen för en summa . De kan ses som " kontinuerliga " versioner av " diskreta " produkter .

De mest populära produktintegralerna är följande:

Typ I: Volterra integral

$\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big ( }1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.$

Typ I-produktintegralen motsvarar Volterras ursprungliga definition. Följande relation finns för skalära funktioner $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ :

$\prod _{a}^{b}{\big (}1+f( x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),$

som inte är en multiplikativ operator . (Så begreppen produktintegral och multiplikativ integral är inte samma sak).

Volterra-produktintegralen är mest användbar när den tillämpas på matrisvärderade funktioner eller funktioner med värden i en Banach-algebra , där den sista likheten inte längre är sann (se referenserna nedan).

När den tillämpas på skalärer som tillhör ett icke-kommutativt fält, på matriser och på operatorer, dvs på matematiska objekt som inte pendlar, delas Volterra-integralen i två definitioner

Vänster Produktintegral

$P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb { 1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})$

Med beteckningen vänsterprodukter (dvs normala produkter applicerade från vänster)

$\prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t) dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)$

Rätt produktintegral

$P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i}) =(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})$

Med beteckningen rätt produkter (dvs appliceras från höger)

$(\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^ {b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}$

Där $\mathbb {1}$ är identitetsmatrisen och D är en partition av intervallet [a,b] i Riemanns mening, dvs gränsen är över det maximala intervallet i partitionen. Notera hur tidsordning i detta fall kommer fram i definitionerna.

För skalära funktioner är derivatan i Volterra-systemet den logaritmiska derivatan , så Volterra-systemet är inte en multiplikativ kalkyl och är inte en icke-Newtonsk kalkyl.

Typ II: geometrisk integral

$\prod _{a}^{ b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a }^{b}\ln f(x)\,dx\right),$

som kallas den geometriska integralen och är en multiplikativ operator .

Denna definition av produktintegralen är den kontinuerliga analogen av den diskreta produktoperatören

$\prod _{i=a}^{b}$

(med $i,a,b\in \mathbb {Z}$ ) och den multiplikativa analogen till (normal/standard/ additiv ) integralen

$\int _{a}^{b}dx$

(med ${\displaystyle x\in [a,b]} )$ :

	tillsats	multiplikativ
diskret	$\sum _{i=a}^{b}f(i)$	$\prod _{i=a}^{b}f(i)$
kontinuerlig	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$	$\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}$

Det är mycket användbart inom stokastik , där logaritmen (dvs. logaritmen för en produktintegral av oberoende slumpvariabler ) är lika med integralen av logaritmen för dessa ( oändligt många) slumpvariabler :

$\ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.$

Typ III: bigeometrisk integral

$\prod _{a}^{b}f(x)^{ d(\ln x)}=\exp \left(\int _{r}^{s}\ln f(e^{x})\,dx\right),$

där r = ln a och s = ln b .

Produktintegralen av typ III kallas bigeometrisk integral och är en multiplikativ operator .

Resultat

Grundläggande resultat

Följande resultat är för produktintegralen av typ II (den geometriska integralen) . Andra typer ger andra resultat.

$\prod _{a}^{b}c^{dx}=c^{ba},$

$\prod _{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{ ab},$

$\prod _{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}}^{- b},$

$\prod _{a}^{b}\left(f(x) ^{k}\right)^{dx}=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},$

$\prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^ {\int _{a}^{b}f(x)\,dx},$

Den geometriska integralen (typ II ovan) spelar en central roll i den geometriska kalkylen , som är en multiplikativ kalkyl. Inversen av den geometriska integralen, som är den geometriska derivatan , betecknad $f^{*}(x)$ , definieras med följande relation:

$f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x) )}}\höger)$

Följande kan alltså dras slutsatsen:

Grundsatsen

$\prod _{a }^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}} \,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},$

Produktregel

$(fg)^{*}=f^{*}g^{*}.$

Quotientregel

$(f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.$

Lagen för stora tal

${\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x} X^{dF(x)},$

där X är en stokastisk variabel med sannolikhetsfördelning F ( x ).

Jämför med standardlagen för stora tal :

${\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF (x).$

Produktintegraler av Lebesgue-typ

Precis som Lebesgue-versionen av (klassiska) integraler kan man beräkna produktintegraler genom att approximera dem med produktintegraler för enkla funktioner . Varje typ av produktintegral har olika form för enkla funktioner .

Typ I: Volterra integral

Eftersom enkla funktioner generaliserar stegfunktioner kommer vi i det följande endast att överväga specialfallet med enkla funktioner som är stegfunktioner. Detta kommer också att göra det lättare att jämföra Lebesgue-definitionen med Riemann-definitionen .

Givet en stegfunktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ med motsvarande partition $a= y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}$ och en taggad partition

$a= x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{0}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{1}\ leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n-1}\leq x_{n},$

en approximation av "Riemann-definitionen" av typ I-produktintegralen ges av

$\prod _{k=0}^{n-1}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k+1}-x_ {k})\right].$

Produktintegralen (typ I) definierades som, grovt sett, gränsen för dessa produkter av Ludwig Schlesinger i en artikel från 1931.

En annan approximation av "Riemann-definitionen" av typ I-produktintegralen definieras som

$\prod _{k=0}^{n-1}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k+1}-x_{k}){\big) }.$

När $f$ är en konstant funktion är gränsen för den första typen av approximation lika med den andra typen av approximation. Observera att i allmänhet, för en stegfunktion, beror värdet på den andra typen av approximation inte på partitionen, så länge som partitionen är en förfining av partitionen som definierar stegfunktionen, medan värdet för den första typen av approximation beror på finheten hos partitionen, även när det är en förfining av partitionen som definierar stegfunktionen.

Det visar sig att för varje produktintegrerbar funktion $f$ är gränsen för den första typen av approximation lika med gränsen för den andra typen av approximation. Eftersom, för stegfunktioner, värdet av den andra typen av approximation inte beror på finheten hos partitionen för partitioner "tillräckligt bra", är det vettigt att definiera "Lebesgue (typ I) produktintegralen" för en stegfunktion som

$\prod _{ a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\ exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k+1}-y_{k}){\big )},$

där $y_{0}<a=s_{0}<y_{1}<\dots <y_ {n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b$ är en taggad partition, och återigen $a=y_{0}<y_{ 1}<\dots <y_{m}$ är den partition som motsvarar stegfunktionen $f$ . (Däremot skulle motsvarande kvantitet inte entydigt definieras med den första typen av approximation.)

Detta generaliserar till godtyckligt mätning av utrymmen lätt. Om $X}$${\displaystyle f(x)=\summa _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)} (dvs en konisk kombination$ är ett måttutrymme med måttet $\mu$ , då för varje produktintegrerbar enkel funktion av indikatorfunktionerna för vissa disjunkta mätbara mängder $A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X$ ), dess typ I-produktintegral definieras som

$\prod _{X}{\big ( }1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big ( }a_{k}\mu (A_{k}){\big )},$

eftersom $a_{k}$ är värdet av $f$ vid vilken punkt som helst av $A_{k}$ . I det speciella fallet där $X=\mathbb {R}$ , $\mu$ är Lebesgue-måttet , och alla de mätbara uppsättningarna $A_{k}$ är intervall , man kan verifiera att detta är lika med definitionen ovan för det speciella fallet. Analogt med teorin om Lebesgue (klassiska) integraler kan Volterra -produktintegralen för alla produktintegrerbara funktioner $f$ skrivas som gränsen för en ökande sekvens av Volterra-produktintegraler av produktintegrerbara enkla funktioner.

Om man tar logaritmer från båda sidor av definitionen ovan, får man det för alla produktintegrerbara enkla funktioner f {\ $f}$ :

$\ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x) ){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\ big )}\right)=\summa _{k=0}^{m-1}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu ( x)\iff$

$\prod _{X}{\big ( }1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\höger),$

där vi använde definitionen av integral för enkla funktioner . Dessutom, eftersom kontinuerliga funktioner som $\exp$ kan bytas ut med limits , och produktintegralen för varje produktintegrerbar funktion $f$ är lika med gränsen för produktintegraler för enkla funktioner, följer det att förhållandet

$\prod _{X}{\big (}1+f(x) )\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)$

gäller generellt för alla produktintegrerbara $f$ . Detta generaliserar tydligt egenskapen som nämns ovan .

Volterra -produktintegralen är multiplikativ som en uppsättningsfunktion , som kan visas med ovanstående egenskap. Mer specifikt, givet en produktintegrerbar funktion $f$ kan man definiera en uppsättningsfunktion ${\cal {V}}_{f}$ genom att definiera, för varje mätbar uppsättning ${\ displaystyle B\subseteq X}$ ,

${ \displaystyle {\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x ){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){ \big )},}$

där $I_{B}(x)$ anger indikatorfunktionen för $B$ . Då har man för två osammanhängande mätbara uppsättningar $B_{1},B_{2}$

${\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{ \big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x )\,d\mu (x)\höger)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2 }}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right) \exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d \mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1 }){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}$

Denna egenskap kan jämföras med mått , som är additiv set-funktioner .

Men Volterra-produktintegralen är inte multiplikativ som funktionell . Med tanke på två produktintegrerbara funktioner $f,g$ , och en mätbar mängd $A$ , är det i allmänhet så att

$\prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+ f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.$

Typ II: geometrisk integral

Om $X}$${\displaystyle f(x)=\summa _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)} (dvs en konisk kombination$ är ett måttutrymme med måttet $\mu$ , då för varje produktintegrerbar enkel funktion av indikatorfunktionerna för vissa disjunkta mätbara mängder ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X} )$ , dess typ II-produktintegral definieras som

$\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}a_{k} ^{\mu (A_{k})}.$

Detta kan ses för att generalisera definitionen ovan.

Om vi ​​tar logaritmer från båda sidor ser vi att för alla produktintegrerbara enkla funktioner $f$ :

$\ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\ mu (x)}\right)=\summa _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f( x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\ ,d\mu (x)\höger),$

där vi har använt definitionen av Lebesgue-integralen för enkla funktioner . Denna observation, analog med den som redan gjorts ovan , tillåter en att helt reducera " Lebesgue-teorin om geometriska integraler " till Lebesgue-teorin om (klassiska) integraler . Med andra ord, eftersom kontinuerliga funktioner som $\exp$ och $\ln$ kan bytas ut med limits , och produktintegralen för alla produktintegrerbara funktioner $f$ är lika med limiten av någon ökande sekvens av produktintegraler av enkla funktioner , följer att förhållandet

$\prod _{X}f(x)^{d\mu (x) }=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)$

gäller generellt för alla produktintegrerbara $f$ . Detta generaliserar egenskapen hos geometriska integraler som nämnts ovan.

Se även

• Lista över derivator och integraler i alternativa kalkyler
• Obestämd produkt
• Logaritmisk derivata
• Ordnade exponentiellt
• Fraktalderivat

externa länkar

• Webbplats för icke-newtonsk kalkyl
• Richard Gill, produktintegration
• Richard Gill, produktintegralsymbol
• David Manura, Produktkalkyl
• Tyler Neylon, lätta gränser för n!
• En introduktion till Multigral (produkt) och Dx-less Calculus
• Anteckningar om Lax-ekvationen
• Antonín Slavík, En introduktion till produktintegration
• Antonín Slavík, Henstock–Kurzweil och McShane produktintegrering