Ordnade exponentiellt

Den ordnade exponentialen , även kallad den banordnade exponentialen , är en matematisk operation definierad i icke-kommutativa algebror , motsvarande exponentialen för integralen i de kommutativa algebran. I praktiken används den ordnade exponentialen i matris- och operatoralgebror .

Definition

Låt A vara en algebra över ett reellt eller komplext fält K , och a ( t ) vara ett parametriserat element av A ,

$$a:K\to A.$$

Parametern t i a ( t ) kallas ofta för tidsparametern i detta sammanhang.

Den ordnade exponentialen för a betecknas

$${\begin{aligned}}\operator [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \ summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}\cdots \int _{0}^{t}{\mathcal {T }}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\,dt'_{1}\cdots dt'_{n}\\&\ ekvivalent \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}\int _{0}^{t'_{n}}\int _{0}^{t'_ {n-1}}\cdots \int _{0}^{t'_{2}}a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\,dt'_{1 }\cdots dt'_{n-2}\,dt'_{n-1}\,dt'_{n}\end{aligned}}$$

där termen n = 0 är lika med 1 och där ${\mathcal {T}}$ är en operation av högre ordning som säkerställer att exponentialen är tidsordnad : vilken produkt som helst av a ( t ) som förekommer i expansion av exponentialen måste ordnas så att värdet på t ökar från höger till vänster om produkten; ett schematiskt exempel:

$${\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).$$

Denna begränsning är nödvändig eftersom produkter i algebra inte nödvändigtvis är kommutativa.

Operationen mappar ett parametriserat element till ett annat parametriserat element, eller symboliskt,

$$\operatorname {OE} \mathrel {:} (K\to A)\to (K\to A).$$

Det finns olika sätt att definiera denna integral mer rigoröst.

Produkt av exponentialer

Den ordnade exponentialen kan definieras som den vänstra produktintegralen av de infinitesimala exponentialerna, eller motsvarande, som en ordnad produkt av exponentialen i gränsen när antalet termer växer till oändlighet:

$$\operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\ ekvivalent \lim _{N\to \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)$$

t _i ≡ i Δt där tidsmomenten ₀ { t , …, _i } definieras tN Δt ≡ , / N som för t = 0, ... N och .

Den ordnade exponentialen är i själva verket en geometrisk integral .

Lösning på en differentialekvation

Den ordnade exponentialen är en unik lösning på initialvärdesproblemet :

$${\begin{aligned}{\frac {d} {dt}}\operatörsnamn {OE} [a](t)&=a(t)\operatörsnamn {OE} [a](t),\\[5pt]\operatörsnamn {OE} [a](0)& =1.\end{aligned}}$$

Lösning till en integralekvation

Den ordnade exponentialen är lösningen till integralekvationen :

$$\operatörsnamn {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatörsnamn {OE} [a](t')\,dt'.$$

Denna ekvation är ekvivalent med det tidigare initiala värdeproblemet.

Oändlig serieexpansion

Den ordnade exponentialen kan definieras som en oändlig summa,

$$\operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t }\int _{0}^{t_{1}}a(t_{1})a(t_{2})\,dt_{2}\,dt_{1}+\cdots .$$

Detta kan härledas genom att rekursivt ersätta integralekvationen i sig själv.

Exempel

Givet ett mångfald $M$ där det för a $e\in TM}$ displaystyle grupptransformation g $g:e\mapsto ge$ i en punkt $x\in M$ :

$de(x)+\operatörsnamn {J} (x)e(x)=0.$

Här betecknar $d$ exteriör differentiering och $\operatorname {J} (x)$ är anslutningsoperatorn (1-formfält) som verkar på $e( x)$ . När man integrerar ovanstående ekvation gäller den (nu $\operatorname {J} (x)$ anslutningsoperatorn uttryckt i en koordinatbas)

$e(y)=\operatörsnamn {P} \exp \left (-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)$

med sökvägsordningsoperatorn $\operatorname {P}$ som ordnar faktorer i ordningsföljden för sökvägen $\gamma (t)\in M$ . För det speciella fallet att $\operatorname {J} (x)$ är en antisymmetrisk operator och $\gamma$ är en infinitesimal rektangel med kantlängder $|u|,|v|$ och hörn vid punkterna $x,x+u,x+u+v,x+v,$ uttrycket ovan förenklas enligt följande:

${\begin{aligned}&\operatörsnamn {OE} [-\operatörsnamn {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatörsnamn {J} (x+v) (-v)]\exp[-\operatörsnamn {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatörsnamn {J} (x+u)v]\exp[-\operatörsnamn {J } (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatörsnamn {J} (x+v)(-v)][1-\operatörsnamn {J} (x+u+ v)(-u)][1-\operatörsnamn {J} (x+u)v][1-\operatörsnamn {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}$

Därför håller den grupptransformationsidentiteten $\operatörsnamn {OE} [-\operatörsnamn {J} ]\mapsto g\operatörsnamn {OE} [\ operatörsnamn {J} ]g^{-1}$ . Om $-\operatörsnamn {J} (x)$ är en jämn anslutning, expanderar ovanstående kvantitet till andra ordningen i oändligt små kvantiteter $|u|,|v|$ får man för den ordnade exponentialen identiteten med en korrigeringsterm som är proportionell mot krökningstensorn .

Se även

• Sökvägsordning (i huvudsak samma koncept)
• Magnus expansion
• Produktintegral
• Lista över derivator och integraler i alternativa kalkyler
• Obestämd produkt
• Fraktalderivat

externa länkar

• Webbplats för icke-newtonsk kalkyl