En funktions elasticitet

I matematik definieras elasticiteten eller punktelasticiteten för en positiv differentierbar funktion f av en positiv variabel (positiv ingång, positiv utmatning) i punkt a som

Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)

=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{xa} }=\lim _{x\to a}{\frac {1-{\frac {f(x)}{f(a)}}}{1-{\frac {x}{a}}}}\ ungefär {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}

eller motsvarande

Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.

Det är alltså förhållandet mellan den relativa (procentuella) förändringen i funktionens utdata $f(x)$ med avseende på den relativa förändringen i dess indata $x$ , för oändliga ändringar från en punkt $(a,f(a))$ . På motsvarande sätt är det förhållandet mellan den oändliga förändringen av logaritmen för en funktion i förhållande till den infinitesimala förändringen av logaritmen för argumentet. Generaliseringar till multi-input-multi-output fall finns också i litteraturen.

Elasticiteten för en funktion är en konstant $\alpha$ om och endast om funktionen har formen $f(x)=Cx^{\alpha }$ för en konstant $C>0$ .

Elasticiteten vid en punkt är gränsen för bågelasticiteten mellan två punkter när avståndet mellan dessa två punkter närmar sig noll.

Begreppet elasticitet används i stor utsträckning inom ekonomi och metabolisk kontrollanalys ; se elasticitet (ekonomi) respektive Elasticitetskoefficient för detaljer.

Regler

Reglerna för att hitta elasticiteten hos produkter och kvoter är enklare än för derivat. Låt f, g vara differentierbara. Sedan

E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)

E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg( x)

E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f (x)+g(x)}}

E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E( g(x))}{f(x)-g(x)}}

Derivaten kan uttryckas i termer av elasticitet som

Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}

Låt a och b vara konstanter. Sedan

E(a)=0\

E(a\cdot f(x))=Ef(x)

,

E(bx^{a})=a\

.

Uppskattning av punktelasticiteter

Inom ekonomi avser efterfrågepriselasticiteten elasticiteten hos en efterfrågefunktion Q ( P ), och kan uttryckas som (dQ/dP)/(Q(P)/P) eller förhållandet mellan värdet på marginalfunktionen (dQ/dP) till värdet av medelfunktionen (Q(P)/P). Detta förhållande ger ett enkelt sätt att avgöra om en efterfrågekurva är elastisk eller oelastisk vid en viss punkt. Anta först att man följer den vanliga konventionen i matematik att plotta den oberoende variabeln (P) horisontellt och den beroende variabeln (Q) vertikalt. Då är lutningen på en linje som tangerar kurvan vid den punkten värdet på marginalfunktionen vid den punkten. Lutningen för en stråle som dras från origo genom punkten är värdet på medelfunktionen. Om det absoluta värdet av tangentens lutning är större än strålens lutning är funktionen elastisk i punkten; om sekantens lutning är större än det absoluta värdet på tangentens lutning så är kurvan oelastisk vid punkten. Om tangentlinjen förlängs till den horisontella axeln är problemet helt enkelt en fråga om att jämföra vinklar som skapas av linjerna och den horisontella axeln. Om marginalvinkeln är större än medelvinkeln är funktionen elastisk i punkten; om marginalvinkeln är mindre än medelvinkeln är funktionen oelastisk vid den punkten. Om man däremot följer den konvention som antagits av ekonomer och plottar den oberoende variabeln P på den vertikala axeln och den beroende variabeln Q på den horisontella axeln, så skulle de motsatta reglerna gälla.

Samma grafiska procedur kan även tillämpas på en försörjningsfunktion eller andra funktioner.

Semi-elasticitet

En semileasticitet (eller semielasticitet) ger den procentuella förändringen i f(x) i termer av en förändring (inte procentuellt) i x . Algebraiskt är semi-elasticiteten S för en funktion f i punkten x