Fraktalderivat

I tillämpad matematik och matematisk analys är fraktalderivatet eller Hausdorff-derivatet en icke-newtonsk generalisering av derivatan som handlar om mätning av fraktaler , definierad i fraktalgeometri. Fraktalderivat skapades för att studera avvikande diffusion, genom vilka traditionella metoder misslyckas med att ta hänsyn till medias fraktala natur. Ett fraktalt mått t skalas enligt t ^α . En sådan derivata är lokal, i motsats till den på liknande sätt tillämpade fraktionella derivatan . Fraktalkalkyl är formulerad som en generaliserad av standardkalkyl

Fysisk bakgrund

Porösa medier , akviferer , turbulens och andra medier uppvisar vanligtvis fraktala egenskaper. Klassiska spridningslagar baserade på slumpmässiga vandringar i fritt utrymme (i huvudsak samma resultat som omväxlande är känt som Ficks diffusionslagar , Darcys lag och Fouriers lag) är inte tillämpliga på fraktala medier. För att ta itu med detta måste begrepp som avstånd och hastighet omdefinieras för fraktala medier; i synnerhet ska skalor för rum och tid transformeras enligt ( x ^β , t ^α ). Elementära fysiska begrepp som hastighet omdefinieras enligt följande för fraktal rumtid ( x ^β , t ^α ):

v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta } }{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0

,

där S ^α,β representerar den fraktala rumtiden med skalningsindex α och β . Den traditionella definitionen av hastighet är meningslös i den icke-differentiera fraktala rumtiden.

Definition

Baserat på ovanstående diskussion har konceptet med fraktalderivatan av en funktion u ( t ) med avseende på ett fraktalt mått t introducerats enligt följande:

{\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\högerpil t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t ^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0

,

En mer allmän definition ges av

{\frac {\partial ^{ \beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\högerpil t}{\frac {f^{\beta}(t_{1})-f ^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0

.

För en funktion y(t) på $F^{\alpha }$ -perfekt fraktalmängd F definieras fraktalderivatan eller $F^{\alpha }$ -derivatan av vid t av

D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}lim}}~{\ frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F}^{\alpha}(t)}},&if~t\i F;\\ 0,&annars.\end{array}}\right.

.

Motivering

Derivaterna av en funktion f kan definieras i termer av koefficienterna a _k i Taylor - seriens expansion:

$f(x)=\summa _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\summa _{k=1}^{\infty }{1 \over k!} {d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0) })\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$

Från detta tillvägagångssätt kan man direkt få:

$f'(x_{ 0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \över x-x_{0}}=\lim _{x\till x_{0}}{ f(x)-f(x_{0}) \över x-x_{0}}$

Detta kan generaliseras genom att approximera f med funktioner (x ^α -(x ₀ ) ^α ) ^k :

$f (x)=\summa _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{ 0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })$

₀₀₀ notera: den lägsta ordningenskoefficienten måste fortfarande vara b =f(x ), eftersom det fortfarande är den konstanta approximationen av funktionen f vid x .

Återigen kan man direkt få:

$b_{1}=\lim _{x\to x_{ 0}}{f(x)-f(x_{0}) \över x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{} }{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})$

Fractal Maclaurin-serien av f(t) med fraktalt stöd F är som följer:

$f(t)=\summa _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f (t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}$

Egenskaper

Expansionskoefficienter

Precis som i Taylor-seriens expansion kan koefficienterna b _k uttryckas i termer av fraktala derivator av ordningen k av f:

$b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^ {k}f(x=x_{0})$

Bevisidé: antar att ${\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$ existerar, b _k kan skrivas som ${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }} )^{k}f(x=x_{0})}$

man kan nu använda ${\textstil f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Högerpil ({d \over dx^{\alpha }})^{ k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$ och eftersom ${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Förbindelse med derivat

Om för en given funktion f finns både derivatan Df och fraktalderivatan D _α f, kan man hitta en analog till kedjeregeln:

${df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \ över dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}$

Det sista steget motiveras av Implicit funktionssatsen som under lämpliga förhållanden ger oss dx/dx ^α = (dx ^α /dx) ⁻¹

På samma sätt för den mer allmänna definitionen:

${d^{\beta }f \over d^ {\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)$

Fraktalderivata för funktionen f ( t ) = t , med derivataordningen är α ∈ (0,1]

Applicering i onormal diffusion

Som ett alternativt modelleringssätt till den klassiska Ficks andra lag, används fraktalderivatan för att härleda en linjär anomal transport-diffusionsekvation som ligger bakom anomal diffusionsprocess ,

{\frac {du(x ,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{ \partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)

u(x,0)=\delta (x).

där 0 < α < 2, 0 < β < 1 och δ ( x ) är Dirac delta-funktionen .

För att få den grundläggande lösningen tillämpar vi transformationen av variabler

t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.

då blir ekvationen (1) den normala diffusionsformens ekvation, lösningen av (1) har den sträckta gaussiska formen:

u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha } }}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}

Medelkvadratförskjutningen av ovanstående fraktalderivata diffusionsekvation har asymptoten :

\left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.

Fraktal-fraktionell kalkyl

Den fraktala derivatan är kopplad till den klassiska derivatan om den första derivatan av den undersökta funktionen finns. I detta fall,

{\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\högerpil t}{\frac {f(t_{1})-f(t )}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0

.

Men på grund av differentieringsegenskapen hos en integral är bråkderivata differentierbara, därför introducerades följande nya koncept

Följande differentialoperatorer introducerades och tillämpades helt nyligen. Om vi antar att y(t) är kontinuerlig och fraktal differentierbar på (a, b) med ordningen β , gäller flera definitioner av en fraktal–fraktionell derivata av y(t) med ordningen α i Riemann–Liouvilles mening:

Har kraftlagstyp kärna:

$^{ FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\ dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(ts)^{m-\alpha -1}y(s)ds$

Att ha en kärna av exponentiellt sönderfallande typ:

$^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}( ts){\Big )}y(s)ds$ ,

Efter att ha generaliserat kärna av Mittag-Leffler-typ:

${}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d} {dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^ {\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.$

Ovanstående differentialoperatorer har var och en en tillhörande fraktal-fraktionell integraloperator enligt följande:

Kraftlagstyp kärna:

$^{FFP}J_{ 0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^ {t}(ts)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds$

Exponentiellt sönderfallande kärna:

$^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M (\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y (t)}{M(\alpha )}}$ .

Generaliserad kärna av Mittag-Leffler-typ:

$^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={ \dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(ts)^{\alpha -1}ds+{ \dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}$ . FFM är refereed till fraktal-fraktionell med den generaliserade Mittag-Leffler kärnan.

Fraktal icke-lokal kalkyl

Fraktalanalog av den högersidiga Riemann-Liouville-bråkintegralen av ordningen $\beta \in \mathbb {R}$ av f definieras av:

${x}{ \mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f (t)}{(S_{F}^{\alpha}(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha } t$ .

Fraktalanalog av den vänstersidiga Riemann-Liouville-bråkintegralen av ordningen $\beta \in \mathbb {R}$ av f definieras av:

${a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{ x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha}(t))^{1-\beta }}}d_{ F}^{\alpha }t.$

Fraktalanalog av den högersidiga Riemann-Liouville-bråkderivatan av ordningen $\beta \in \mathbb {R}$ av f definieras av:

${x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}( -D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(t)-S_ {F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

Fraktalanalog av den vänstersidiga Riemann-Liouville bråkderivata av ordningen $\beta \in \mathbb {R}$ av f definieras av:

${a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_ {F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F }^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

Fraktalanalog av den högersidiga Caputo-bråkderivatan av ordningen $\beta \in \mathbb {R}$ av f definieras av:

${x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}( -D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

Fraktalanalog av den vänstersidiga Caputo-bråkderivatan av ordningen $\beta \in \mathbb {R}$ av f definieras av:

${a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta) }}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha}(t))^{n-\beta -1}(D_ {F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

Se även

Chen, W. (2006). "Tid-rum-tyg som ligger bakom anomal diffusion". Kaos, solitoner och fraktaler . 28 (4): 923–929. arXiv : math-ph/0505023 . Bibcode : 2006CSF....28..923C . doi : 10.1016/j.chaos.2005.08.199 . S2CID 18369880 .
Kanno, R. (1998). "Representation av slumpmässig promenad i fraktal rum-tid". Physica A. 248 (1–2): 165–175. Bibcode : 1998PhyA..248..165K . doi : 10.1016/S0378-4371(97)00422-6 .
Chen, W.; Sun, HG; Zhang, X.; Korosak, D. (2010). "Anomal diffusionsmodellering genom fraktala och fraktionerade derivator" . Datorer och matematik med applikationer . 59 (5): 1754–8. doi : 10.1016/j.camwa.2009.08.020 .
Sun, HG; Meerschaert, MM; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). "En fraktal Richards ekvation för att fånga den icke-Boltzmannska skalningen av vattentransport i omättade medier" . Framsteg inom vattenresurser . 52 (52): 292–5. Bibcode : 2013AdWR...52..292S . doi : 10.1016/j.advwaters.2012.11.005 . PMC 3686513 . PMID 23794783 .
Cushman, JH; O'Malley, D.; Park, M. (2009). "Anomal diffusion som modellerats av en icke-stationär förlängning av Brownsk rörelse". Phys. Rev. E. 79 (3): 032101. Bibcode : 2009PhRvE..79c2101C . doi : 10.1103/PhysRevE.79.032101 . PMID 19391995 .
Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. (2010). "M-Wright-funktionen i tidsfraktionerade diffusionsprocesser: En självstudieundersökning" . International Journal of Differential Equations . 2010 : 104505. arXiv : 1004.2950 . Bibcode : 2010arXiv1004.2950M . doi : 10.1155/2010/104505 . S2CID 37271918 .

externa länkar