Konisk kombination

Givet ett ändligt antal vektorer $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ i ett reellt vektorrum , en konisk kombination , konisk summa , eller viktad summa av dessa vektorer är en vektor av formen

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n} x_{n}

där $\alpha _{i}$ är icke-negativa reella tal.

Namnet härrör från det faktum att en konisk summa av vektorer definierar en kon (möjligen i ett lägre dimensionellt delrum ).

Koniskt skrov

Uppsättningen av alla koniska kombinationer för en given uppsättning S kallas det koniska skrovet av S och betecknas kon ( S ) eller koni ( S ). Det är,

\operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\ alfa _{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,k\in \mathbb {N} \right\}.

Genom att ta k = 0 följer det att nollvektorn ( ursprung ) tillhör alla koniska skrov (eftersom summeringen blir en tom summa ).

Det koniska skrovet på en uppsättning S är en konvex uppsättning . I själva verket är det skärningspunkten mellan alla konvexa koner som innehåller S plus ursprunget. Om S är en kompakt mängd (särskilt när det är en finit icke-tom uppsättning punkter), så är villkoret "plus origo" onödigt.

Om vi förkastar ursprunget kan vi dividera alla koefficienter med deras summa för att se att en konisk kombination är en konvex kombination skalad med en positiv faktor.

I planet är det koniska skrovet på en cirkel som passerar genom origo det öppna halvplanet som definieras av tangentlinjen till cirkeln vid origo plus origo.

Därför är "koniska kombinationer" och "koniska skrov" i själva verket "konvexa koniska kombinationer" respektive "konvexa koniska skrov". Dessutom antyder ovanstående anmärkning om att dividera koefficienterna samtidigt som ursprunget kasseras att de koniska kombinationerna och skroven kan betraktas som konvexa kombinationer och konvexa skrov i det projektiva utrymmet .

Även om det konvexa skrovet på en kompakt uppsättning också är en kompakt uppsättning, är detta inte fallet för det koniska skrovet; för det första är den senare obegränsad. Dessutom är det inte ens nödvändigtvis en sluten uppsättning : ett motexempel är en sfär som passerar genom origo, där det koniska skrovet är ett öppet halvutrymme plus origo. Men om S är en icke-tom konvex kompakt uppsättning som inte innehåller ursprunget, så är det konvexa koniska skrovet på S en sluten uppsättning.

Se även

Relaterade kombinationer