Obestämd produkt

I matematik är den obestämda produktoperatorn den inversa operatorn av ${\textstil Q(f(x))={\frac {f(x+1 )}{f(x)}}}$ . Det är en diskret version av den geometriska integralen av geometrisk kalkyl, en av de icke-Newtonska kalkylerna. Vissa författare använder termen diskret multiplikativ integration .

Således

$Q\left(\prod _{x}f(x)\right)=f(x)\,.$

Mer explicit, om ${\textstyle \prod _{x}f(x)=F(x)}$ , då

${\frac {F(x+1)}{F(x)}}=f(x)\,.$

Om F ( x ) är en lösning av denna funktionella ekvation för en given f ( x ), så är CF ( x ) även för varje konstant C . Därför representerar varje obestämd produkt faktiskt en familj av funktioner, som skiljer sig åt med en multiplikativ konstant.

Periodregel

Om $T$ är en period av funktion $f(x)$ så

$\prod _{x}f(Tx)=Cf(Tx)^{x-1}$

Anslutning till obestämd summa

Obestämd produkt kan uttryckas i termer av obestämd summa :

$\prod _{x}f(x)=\exp \left(\summa _{x}\ln f(x) \höger)$

Alternativ användning

Vissa författare använder frasen "obestämd produkt" på ett lite annorlunda men relaterat sätt för att beskriva en produkt där det numeriska värdet för den övre gränsen inte anges. t.ex

$\prod _{k=1}^{n}f(k)$ .

Regler

$\prod _{x}f(x)g(x)=\prod _{x}f(x) )\prod _{x}g(x)$

$\prod _{x}f(x)^{a}=\left( \prod _{x}f(x)\right)^{a}$

$\prod _{x}a^{f(x)} =a^{\summa _{x}f(x)}$

Lista över obestämda produkter

Detta är en lista över obestämda produkter ${\textstyle \prod _{x}f(x)}$ . Alla funktioner har inte en obestämd produkt som kan uttryckas i elementära funktioner.

$\prod _{x}a=Ca^{x}$

$\prod _{x}x=C\,\Gamma ( x)$

$\prod _{x}{\frac {x+1}{x}}=Cx$

$\prod _{x}{\frac {x+a}{x}}={\frac {C\,\Gamma (x+a)}{\Gamma (x)}}$

$\prod _{x}x^{a}=C\,\Gamma (x)^{a}$

$\prod _{x}ax=Ca^{x}\Gamma (x)$

$\prod _{x}a^{x }=Ca^{{\frac {x}{2}}(x-1)}$

$\prod _{x}a^ {\frac {1}{x}}=Ca^{\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$

$\prod _{x}x^{ x}=C\,e^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=C\,e^{\psi ^{(-2) }(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )}=C\,\operatörsnamn {K} ( x)$

(se K-funktion )

${\displaystyle \prod _{x}\Gamma (x)={\frac {C\,\Gamma (x)^{x- 1}}{\operatörsnamn {K} (x)}}=C\,\Gamma (x)^{x-1}e^{{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )- {\frac {z^{2}-z}{2}}-\psi ^{(-2)}(z)}=C\,\operatörsnamn {G} (x)} (se$

Barnes G-funktion )

$\prod _{x}\operatörsnamn {sexp} _{a}( x)={\frac {C\,(\operatörsnamn {sexp} _{a}(x))'}{\operatörsnamn {sexp} _{a}(x)(\ln a)^{x}}}$

(se superexponentialfunktion )

$\prod _{x}x+a=C\,\Gamma (x+a)$

$\prod _{x}ax+b=C\,a^{x}\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\ höger)$

$\prod _{x}ax^{2}+bx=C\,a^{x }\Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right)$

$\ prod _{x}x^{2}+1=C\,\Gamma (xi)\Gamma (x+i)$

$\prod _{x}x+{\frac {1}{x}}={\frac {C\,\Gamma (xi)\Gamma (x+i)}{\Gamma (x) }}$

$\prod _{x}\csc x\sin(x+1)=C\sin x$

$\prod _{x}\sec x\cos(x+1)=C\cos x$

$\prod _{x}\cot x\tan(x+1)=C\tan x$

$\ prod _{x}\tan x\cot(x+1)=C\cot x$

Se även

• Obestämd summa
• Produktintegral
• Lista över derivator och integraler i alternativa kalkyler
• Fraktalderivat

Vidare läsning

• http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Product.html -Obestämda produkter med Mathematica
• [1] - bugg i Maple V till Maple 8 hantering av obestämd produkt
• Markus Müller. Hur man lägger till ett icke-heltals antal termer och hur man producerar ovanliga oändliga summeringar
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Bråksummor och Euler-liknande identiteter

externa länkar

• Webbplats för icke-newtonsk kalkyl