Paraboliska cylindriska koordinater

Koordinata ytor av paraboliska cylindriska koordinater. Den röda parabolcylindern motsvarar σ=2, medan den gula parabolcylindern motsvarar τ=1. Det blå planet motsvarar z =2. Dessa ytor skär varandra i punkten P (visas som en svart sfär), som har kartesiska koordinater ungefär (2, -1,5, 2).

I matematik är paraboliska cylindriska koordinater ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som är resultatet av att projicera det tvådimensionella paraboliska koordinatsystemet i den vinkelräta $z$ -riktningen. Därför är koordinatytorna konfokala paraboliska cylindrar. Paraboliska cylindriska koordinater har funnit många tillämpningar, t.ex. den potentiella teorin om kanter.

Grundläggande definition

Paraboliskt koordinatsystem som visar kurvor med konstanta σ och τ, de horisontella och vertikala axlarna är x- respektive y-koordinaterna. Dessa koordinater projiceras längs z-axeln, så detta diagram kommer att gälla för alla värden på z-koordinaten.

De paraboliska cylindriska koordinaterna ( σ , τ , z ) definieras i termer av de kartesiska koordinaterna ( x , y , z ) av:

${\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left( \tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}$

Ytorna av konstant σ bildar konfokala paraboliska cylindrar

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

som öppnar mot + y , medan ytorna av konstant τ bildar konfokala paraboliska cylindrar

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

som öppnar sig i motsatt riktning, dvs mot − y . Fokus för alla dessa paraboliska cylindrar är belägna längs linjen som definieras av x = y = 0 . Radien r har också en enkel formel

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}} \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$

som visar sig användbart för att lösa Hamilton–Jacobi-ekvationen i paraboliska koordinater för mekanikens centralkraftproblem med omvänd kvadratisk ; för ytterligare detaljer, se vektorartikeln Laplace–Runge–Lenz .

Skalfaktorer

Skalfaktorerna för de paraboliska cylindriska koordinaterna σ och τ är:

${\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}$

Differentiella element

Det oändliga elementet i volym är

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\ sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz$

Differentialförskjutningen ges av:

$d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}}$

Den differentiella normalarean ges av:

$d\mathbf {S} = {\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2} +\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\ ,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}}$

Del

Låt f vara ett skalärt fält. Gradienten ges av

$\nabla f={\frac {1}{\ sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\ sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}}$

Laplacianen ges av

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{ \sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

Låt A vara ett vektorfält av formen:

$\mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\ fetstil {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$

Avvikelsen ges av

$display \cbla z {\$

Curlen ges av

$\nabla \times \mathbf {A} =\left({ \frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau}\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+ \tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}}$

Andra differentialoperatorer kan uttryckas i koordinaterna ( σ , τ ) genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formler som finns i ortogonala koordinater .

Relation till andra koordinatsystem

Förhållande till cylindriska koordinater ( ρ , φ , z ) :

${\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \ sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}$

Paraboliska enhetsvektorer uttryckta i termer av kartesiska enhetsvektorer:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2} +\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x}}}+\tau {\hat { \mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}$

Parabolcylinderövertoner

Eftersom alla ytor av konstant σ , τ och z är konikoider , är Laplaces ekvation separerbar i paraboliska cylindriska koordinater. Med hjälp av tekniken för separation av variabler kan en separerad lösning till Laplaces ekvation skrivas:

$V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)$

och Laplaces ekvation, dividerat med V , skrivs:

${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\vänster[{\ frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$

Eftersom Z -ekvationen är skild från resten, kan vi skriva

${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$

där m är konstant. Z ( z ) har lösningen:

$Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e ^{-imz}$

Genom att ersätta − m ² för ${\ddot {Z}}/Z$ , kan Laplaces ekvation nu skrivas:

$\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}} {T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$

Vi kan nu separera S- och T -funktionerna och introducera en annan konstant n ² för att erhålla:

${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$

${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$

Lösningarna till dessa ekvationer är de paraboliska cylinderfunktionerna

$S_{mn}(\sigma )= A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$

$T_ {mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2} }/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$

De paraboliska cylinderövertonerna för ( m , n ) är nu produkten av lösningarna. Kombinationen kommer att minska antalet konstanter och den allmänna lösningen till Laplaces ekvation kan skrivas:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn} S_{mn}T_{mn}Z_{m}$

Ansökningar

De klassiska tillämpningarna av paraboliska cylindriska koordinater är att lösa partiella differentialekvationer , t.ex. Laplaces ekvation eller Helmholtz-ekvationen , för vilka sådana koordinater tillåter en separation av variabler . Ett typiskt exempel skulle vara det elektriska fältet som omger en platt halvoändlig ledande platta.

Se även

• Paraboliska koordinater
• Ortogonalt koordinatsystem
• Krökta koordinater

Bibliografi

•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metoder för teoretisk fysik, del I. New York: McGraw-Hill. sid. 658. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H , Murphy GM (1956). Fysikens och kemiens matematik . New York: D. van Nostrand. s. 186 –187. LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer . New York: McGraw-Hill. sid. 181. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
•   Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . New York: Springer Verlag. sid. 96. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Handbok för integration . Boston, MA: Jones och Bartlett. sid. 114. ISBN 0-86720-293-9 . Samma som Morse & Feshbach (1953), som ersätter u _k med ξ _k .
•   Moon P, Spencer DE (1988). "Parabolisk-cylinderkoordinater (μ, ν, z)". Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (korrigerad 2:a upplagan, 3:e tryckta upplagan). New York: Springer-Verlag. s. 21–24 (tabell 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2 .

externa länkar

• MathWorld beskrivning av paraboliska cylindriska koordinater