Toroidformade koordinater

Illustration av toroidformade koordinater, som erhålls genom att rotera ett tvådimensionellt bipolärt koordinatsystem kring axeln som skiljer dess två brännpunkter. Foci är belägna på ett avstånd 1 från den vertikala z -axeln. Den del av den röda sfären som ligger ovanför $xy$-planet är σ = 30° isoytan, den blå torusen är τ = 0,5 isoytan och det gula halvplanet är φ = 60° isoytan. Det gröna halvplanet markerar x - z -planet, från vilket φ mäts. Den svarta punkten är belägen i skärningspunkten mellan de röda, blå och gula isoytorna, vid kartesiska koordinater ungefär (0,996, −1,725, 1,911).

Toroidala koordinater är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som är resultatet av att det tvådimensionella bipolära koordinatsystemet roteras runt axeln som separerar dess två foci. Således blir de två fokuserna $F_{1}$ och $F_{2}$ i bipolära koordinater en ring med radien $a$ i $xy$ -planet av det toroidala koordinatsystemet; z $z$ -axeln är rotationsaxeln Fokalringen är också känd som referenscirkeln.

Definition

Den vanligaste definitionen av toroidala koordinater $(\tau ,\sigma ,\phi )$ är

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$

$y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$

$z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

tillsammans med ${\displaystyle \mathrm {tecken} (\sigma )=\mathrm {tecken} (z}).$$\displaystyle \sigma }$ { -koordinaten för en punkt $P$ är lika med vinkeln $F_{1}PF_{2}$ och $\tau$ -koordinaten är lika med den naturliga logaritmen för förhållandet mellan avstånden ${ \displaystyle d_{1}}$ och $d_{2}$ till motsatta sidor av fokalringen

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

Koordinatområdena är $-\pi <\sigma \leq \pi$ , $\tau \geq 0$ och $0\leq \phi <2\pi .$

Koordinera ytor

Att rotera detta tvådimensionella bipolära koordinatsystem runt den vertikala axeln producerar det tredimensionella toroidala koordinatsystemet ovan. En cirkel på den vertikala axeln blir den röda sfären , medan en cirkel på den horisontella axeln blir den blå torusen .

Ytor med konstant $\sigma$ motsvarar sfärer med olika radier

$\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(za\ barnsäng \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

att alla passerar genom fokalringen men inte är koncentriska. Ytorna på konstanten $\tau$ är icke-korsande tori med olika radier

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

som omger fokalringen. Centrum för konstant- $\sigma$ -sfärerna ligger längs $z$ -axeln, medan konstant- $\tau$ tori är centrerade i $xy$ -planet .

Omvänd transformation

Koordinaterna $(\sigma ,\tau ,\phi )$ kan beräknas från de kartesiska koordinaterna ( x , y , z ) enligt följande. Den azimutala vinkeln $\phi$ ges av formeln

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$

Den cylindriska radien $\rho$ för punkten P ges av

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{ \frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}$

och dess avstånd till brännpunkterna i planet definierat av $\phi$ ges av

$d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}$

$d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}$

Geometrisk tolkning av koordinaterna σ och τ för en punkt P . Observerad i planet med konstant azimutvinkel $\phi$ , toroidala koordinater är ekvivalenta med bipolära koordinater . Vinkeln $\sigma$ bildas av de två brännpunkterna i detta plan och P , medan $\tau$ är logaritmen för förhållandet mellan avstånden till brännpunkterna. Motsvarande cirklar av konstanten $\sigma$ och $\tau$ visas i rött respektive blått och möts i räta vinklar (magenta box); de är ortogonala.

Koordinaten $\tau$ är lika med den naturliga logaritmen för brännvidden

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

medan $|\sigma |$ är lika med vinkeln mellan strålarna till brännpunkterna, vilket kan bestämmas utifrån cosinuslagen

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.$

Eller uttryckligen, inklusive tecknet,

$\sigma =\mathrm {tecken} (z)\arccos {\frac { r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}$

där $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$ .

Transformationerna mellan cylindriska och toroidala koordinater kan uttryckas i komplex notation som

$z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},$

$\tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.$

Skalfaktorer

Skalfaktorerna för de toroidformade koordinaterna $\sigma$ och $\tau$ är lika

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

medan den azimutala skalfaktorn är lika med

$h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Det oändliga volymelementet är alltså lika med

$dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \ tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

Differentiella operatörer

Laplacianen ges av

$${\begin ^{2}\ \frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial } {\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right. \\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}} {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$$

För ett vektorfält

$$_ \displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{ \sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi}(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{ \phi },}$$

vektorn Laplacian ges av

$${\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}} )-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\ vänster\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {( \cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\ partiell n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\ cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \ tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau } }{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_ {\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\ höger\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac { (\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^ {2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau ( \cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left( {\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma } }{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\ phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\ partiell ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2} n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{ \frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2} }{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\ vänster\{n_{\phi}\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau}}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\ sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(- {\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau } }\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\ &\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\ partiell ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{ \frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2} }{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}$$

Andra differentialoperatorer som $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas i koordinaterna $(\sigma ,\tau ,\phi )$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formler som finns i ortogonala koordinater .

Toroidformade övertoner

Standard separation

Laplace-ekvationen med 3 variabler

$\nabla ^{2}\Phi =0$

medger lösning via separation av variabler i toroidformade koordinater. Gör bytet

$\Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}$

En separerbar ekvation erhålls då. En speciell lösning som erhålls genom separation av variabler är:

$\Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\, S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu}(\tau )V_{\mu }(\phi )$

där varje funktion är en linjär kombination av:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\ mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )$

$V_{\mu}(\phi )=e^{i\mu \phi}\,\,\,\,\mathrm {och} \,\,\,\,e^{-i\ mu \phi }$

Där P och Q är associerade Legendre-funktioner av det första och andra slaget. Dessa Legendre-funktioner kallas ofta för toroidövertoner.

Toroidformade övertoner har många intressanta egenskaper. Om du gör en variabelsubstitution $z=\cosh \tau >1$ då, till exempel, med försvinnande ordning $\mu =0$ (konventionen är att inte skriva ordningen när den försvinner) och $\nu =0$

$Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{ 1+z}}}K\vänster({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\höger)$

och

$P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2} {\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\höger)$

där $\,\!K$ och $\,\!E$ är de fullständiga elliptiska integralerna av det första respektive andra slaget. Resten av toroidövertonerna kan erhållas, till exempel, i termer av de fullständiga elliptiska integralerna, genom att använda återfallsrelationer för tillhörande Legendre-funktioner.

De klassiska tillämpningarna av toroidala koordinater är att lösa partiella differentialekvationer , t.ex. Laplaces ekvation för vilka toroidala koordinater tillåter en separation av variabler eller Helmholtz-ekvationen , för vilka toroidala koordinater inte tillåter en separation av variabler. Typiska exempel skulle vara den elektriska potentialen och det elektriska fältet hos en ledande torus, eller i det degenererade fallet, en elektrisk strömring (Hulme 1982).

En alternativ separation

Alternativt kan ett annat utbyte göras (Andrews 2006)

$\Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}$

var

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.$

Återigen erhålls en separerbar ekvation. En speciell lösning som erhålls genom separation av variabler är då:

$\Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu } (\sigma )T_{\mu \nu}(\tau )V_{\mu}(\phi )$

där varje funktion är en linjär kombination av:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\ mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu}(\coth \tau )$

$V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi}\,\,\,\,\mathrm {och} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.$

Observera att även om toroidövertonerna används igen för T -funktionen, är argumentet $\coth \tau$ snarare än $\cosh \tau$ och $\mu$ och $\nu$ index utbyts. Denna metod är användbar för situationer där gränsvillkoren är oberoende av den sfäriska vinkeln ${\displaystyle \theta } ,$ såsom den laddade ringen, ett oändligt halvplan eller två parallella plan. För identiteter som relaterar de toroidformade övertonerna med argument hyperbolisk cosinus med de för argument hyperbolisk cotangens, se Whipple-formlerna .

• Byerly, W E. (1893) En elementär avhandling om Fouriers serier och sfäriska, cylindriska och ellipsoida övertoner, med tillämpningar på problem inom matematisk fysik Ginn & co. s. 264–266
• Arfken G (1970). Matematiska metoder för fysiker (2:a uppl.). Orlando, FL: Academic Press. s. 112–115.
•   Andrews, Mark (2006). "Alternativ separation av Laplaces ekvation i toroidala koordinater och dess tillämpning på elektrostatik". Journal of Electrostatics . 64 (10): 664–672. CiteSeerX 10.1.1.205.5658 . doi : 10.1016/j.elstat.2005.11.005 .
• Hulme, A. (1982). "En anteckning om den magnetiska skalära potentialen för en elektrisk strömring". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 92 (1): 183–191. doi : 10.1017/S0305004100059831 .

Bibliografi

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metoder för teoretisk fysik, del I. New York: McGraw-Hill. sid. 666.
•   Korn GA, Korn TM (1961). Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer . New York: McGraw-Hill. sid. 182. LCCN 59014456 .
•   Margenau H, Murphy GM (1956). Fysikens och kemiens matematik . New York: D. van Nostrand. s. 190 –192. LCCN 55010911 .
•   Moon PH, Spencer DE (1988). "Toroidala koordinater ( η , θ , ψ )". Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (2nd ed., 3rd revided printing ed.). New York: Springer Verlag. s. 112–115 (avsnitt IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6 .

externa länkar

• MathWorld beskrivning av toroidformade koordinater